LIVRE VI. - PROPOSITION XIV

Deux tétraèdres SABC, TDEF , de même hauteur et de bases équivalentes ABC, DEF, sont équivalents.

Soit AG la hauteur commune; placez les bases sur un Fi;. 230. même plan, et divisez AG en parties égales infiniment petites, kg, gg', etc.; par les points de division menez des plans parallèles à celui des bases, lesquels décomposeront chaque tétraèdre en tranches. Soient abc, def, les sections faites par le premier de ces plans sécants : elles sont équivalentes (I. 6, p. 13, c.). La tranche ABCa&c est comprise entre les prismes qui auraient pour bases respectives ABC cl abc, et pour arête An. De même la tranehe ViEYdef est comprise entre les prismes construits sur les bases DEF, def et sur l’arête üd; or, ces deux prismes sont respectivement équivalents à ceux qui comprennent nécABC (p. 12, c. 1). Donc la différence des tranches est moindre que celle de ces derniers prismes; mais si l’on achève le prisme abemnk, on voit que celte différence est égale à la hauteur commune kd, multipliée par BmnC , différence des bases; si de plus des points b',c' on mène&'p, c'q, parallèles à SA, on voit de même que la différence des tranches abca'b'c', defde'f est <^mnpqxkd et ainsi de suite.

Donc la différence des tétraèdres est <^Ad(Bn+mr/-|-...), ou ÂdxABC, quantité infiniment petite. Donc ces tétraèdres sont équivalents.