LIVRE VII. - PROPOSITION XXIV

Si le triangle ABC tourne autour de la droite AA', menée par le sommet A dans le plan ABC , le corps dé-

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cril a pour mesure la surface décrite par la base BC , multipliée par le tiers de la hauteur.

g. 231. Des points B , C menez sur l’axe AA' les perpendiculaires BD, CE. La figure ABCE tournant autour de l’axe AA', on a

vol. ABC = cd/ieABD-|-/ronc (ie cdne BDEC — cône ACE.

Aux cercles décrits par BD et CE, circonscrivez des polygones réguliers infinitésimaux, ayant leurs côtés parallèles chacun à chacun; soient ah, cd deux côtés tangents aux cercles en B et C respectivement.

Le sommet A et le polygone ab... déterminent une pyramide qui diffère infiniment peu du cône ABD; le sommet A et le polygone cd... déterminent une pyramide qui diffère infiniment peu du cône ACE; enfin les deux polygones peuvent être pris pour les bases d’un tronc de pyramide différant infiniment peu du tronc de cône BDEC.

Donc cône ABD + tronc de cône BCED — cône ACE diffère infiniment peu de pyramide hab,..-]- tr. de pyr. ab... cd — pyr. kcd..., ce qui forme un corps qui peut se décomposer en pyramides, ayant pour sommet commun A, et pour bases les faces abcd, etc., du tronc de pyramide. Son volume est donc égal à la somme de cos

bases, surface convexe de ce tronc, multipliée par - de

la hauteur commune, laquelle n’est autre que AG, hauteur du triangle ABC.

En effet, le plan du cercle BD est perpendiculaire au pian BDCE comme l’étant à DE, située dans ce dernier plan; ah, située dans le premier de ces plans, et d’ailleurs perpendiculaire à leur intersection BD, l’est par suite à l’autre plan BDEC; donc le plan abcd est aussi perpendiculaire à ce dernier, et AG, mené dans ce même dernier plan et perpendiculaire à BC. , l’est au plan abcd.

KLKMENTAIRK.

On a donc

vol. kabcd = - AG X surf, abcd

Supprimant les infiniment petits, on a

vol. ABC = - AG X surf. BC.

Si AC se confondait avec AA', le cône ACE et la pyra* mide Accf... s’anullcraient; si BC était parallèle à AA', le tronc de cône deviendrait un cylindre, le tronc de pyramide deviendrait un prisme; mais la démonstration précédente subsiste toujours.