PRINCIPES DE L’ANALYSE DES FONCTIONS ANGULAIRES

Définition i. Le but de la trigonométrie, considérée de la manière la plus générale, est de faire entrer dans le calcul les angles au moyen de la droite.

Cette partie des mathématiques doit son origine au calcul des triangles. On sait qu’un triangle rectangle est déterminé si l’on en connaît trois éléments , dont l’un au moins est un côté : d’ailleurs tout triangle pouvant se décomposer en deux triangles rectangles , la résolution des triangles se réduit à celle du triangle rectangle. Or, pour résoudre un triangle rectangle dont on connaît trois éléments, il suffirait d’avoir un autre triangle rectangle sem-

TRIGONOMÉTRIK.

blable au premier, cl d’ailleurs tout connu : les angles do ce nouveau Irinnglc seraient les mêmes que ceux du premier; les côtés seraient proportionnels; un simple calcul arithmétique ferait donc connaître tout ce que le triangle proposé renferme d’inconnu. Ainsi, on serait en état de résoudre un triangle quelconque si l’on avait une table contenant les éléments calculés d’une série, de triangles rectangles dont les angles aigus présenteraient toutes les valeurs possibles. Pour arriver à cette fin, on a considéré une suite de pareils triangles ayant tous même hypolhé-

Fig- t. nuse OB, = OB,..., etc.; et comme il est impossible de donner aux angles aigus toutes les valeurs possibles, on s’est contenté de faire varier l’angle en O par degrés assez petits, pour ne donner lieu qu’à des erreurs négligeables. Ce sera, par exemple, de minute en minute, ou de seconde en seconde, etc.

Outre cette série de triangles on en a calculé une seconde, en prenant un côté de l’angle droit comme côté commun.

De là résulte pour chaque angle un système de lignes B. C,, OC,; BjC,, OC,, etc.; outre le côtéOB,, OB,, etc. Ces lignes ont reçu des noms particuliers : on va les définir en substituant aux angles des arcs de cercle, ce qui rend plus facile la comparaison de ces lignes ; il est vrai que par là on introduit dans la question un élément étranger et arbitraire, savoir le rayon des arcs; mais nous verrons plus tard que cela n’embarrasse nullement les formules.

Fig. 2. Définition ii. Le sinus d’un arc AC est la perpendilaire CD abaissée d’une des extrémités C de l’arc sur le rayon OA, qui passe à l’autre extrémité A.

Remarque. Il suit de là que le sinus d’un arc est égal à la moitié de la corde de l’arc double. En effet, prolongez CD jusqu’à la circonférence en C'. Le rayon OA, perpendiculaire à la corde CC', divisera cette corde, ainsi que

LIVRK I.

l’arc sous-lcndu CAC', en deux parties égales. Donc l’arc CAC' est le double de l’arc CA, et CD, sinus de CA, est moitié de CC', corde de cet arc double.

Si l’arc AC était de 30”, CAC' serait de 60°; or, la corde de 60° est égale au rayon , donc le sinus de 30° est la moitié du rayon. Nous représenterons le rayon par r : de là

sinus 30® z=.-r, ou, par abréviation, sin. 30® = - r.

Si l’arc AC était de 45®, CAC' serait de 90®, et CDC' serait le côté du carré inscrit, lequel est = donc

sin. 45° =: - r 1^2.

Enfin, si AC était de 60°, l’arc CAC' serait de 120°, ce qui est le tiers de la circonférence; donc CC', côté du triangle équilatéral inscrit, serait r b^3; par suite

sin. 60° r b^3.

Définition ///. La tangente d’un arc AC est la partie AE de la tangente indéfinie menée à l’une des extrémités de l’arc, et terminée au prolongement du rayon OC, qui passe à l’autre extrémité.

Remarque. Si l’arc AC était de 45°, l’angle EOA serait aussi de 45®; son complément OEA serait aussi de 45°, le triangle OEA serait isoscèle, et AE serait =: OA. Donc la tangente de 45° est égale à r, c’est-à-dire

tangente 45° r, ou tg. 45° = r.

Définition if. La sécante d’un arc AC est la distance (OE) du centre à l’extrémité de la tangente.

Remarque. Si l’arc AC était de 45°, le triangle rectangle AOE serait isoscèle et donnerait

trigonométrif.

0E = 20A =2r% ou séc. 46° — rV^'2.

Définition r. Soit BC le complément de l’arc AC : menons le sinus FC, la tangente BG, la sécante OG de ce complément BC; ces lignes se nomment respectivement le cosinus, la cotangenle, la cosécante de BC. Le cosinus d’un arc est donc le sinus du complément de cet arc, etc. ; ainsi

sin. AC = CD, tg. AC zz AE , séc. AC =: OE, cos. AC = FC , cot, AC =r BG , coséc, AC = OG.

Remarque. 1° On a FC = OD : le cosinus mesure donc la distance entre le centre et le pied du sinus.

2° Si l’arc AC était de 45°, son complément BC serait aussi de 46°; le sinus, la tangente, la sécante de ce complément seraient donc respectivement de môme grandeur que le sinus, la tangente, la sécante de l’arc AC.

Donc cos. 45° = sin. 45° = -

cot. 45° =: tg. 46° r, coséc. 45' = séc. 45® — r\/‘i.

3° Le sinus, la tangente, la sécante, le cosinus, la cotangente, la cosécante d’un arc, se nomment les lignes trigonométriques de cet arc; les trois premières se nomment les lignes directes, les autres sont dites indirectes.

Remarque générale. Dans les Irialigles aucun angle ne surpasse 180°; mais il y a des questions d’analyse qui conduisent à des ares plus grands que la circonférence même. Or, quel que grand que soit l’arc, les définitions 2,3, 4 , 5, s’y appliquent. Si l’on ne comparait jamais entre eux que des arcs terminés dans le même quadrant, il suffirait de faire entrer dans le caleul les valeurs absolues des