LIVRE I

lignes Irigonoinéli'iqucs. Mais il n’cn est pas ainsi ; nous montrerons que, pour considérer à la fois des arcs quelconques , il est nécessaire de donner aux lignes trigonométriques des signes, et pour trouver sur la figure ces signes sans ambiguité, voici les conventions qu’il suffit d’établir : Fljç. 2.

1° Regarder le point A comme la première extrémité, l’origine commune des arcs et des tangentes.

2® Comptera partir de ce point, dans un même sens, tous les arcs absolus ou positifs.

3° Regarder comme positifs les sinus qui tombent d’un côté du diamètre AA' mené par l’origine, et comme négatifs ceux qui tombent de l’autre côté.

4° Regarder comme positifs les cosinus qui tombent d’un côté du diamètre RB' perpendiculaire à AA', et comme négatifs les autres.

En comptant les arcs absolus de A vers B, nous regarderons coilime positifs les sinus, qui sont, par rapport à AA', du même côté que le premier quadrant AB; nous regarderons de même comme positifs les cosinus qui, par rapport à BB', tombent du même côté que AB, et nous prendrons pour origine des cotangentes le point B.

5° Les tangentes seront positives si elles tombent par rapport à AA' du même côté que AB , et les cotangentes le seront, si elles sont du même côté que AB, par rapport à BB'. Les autres tangentes et cotangentes seront négatives.

6“ Les sécantes présentent deux cas : celle de l’arc AC est OE, et contient le point C, fin de l’arc, tandis que celle de l’arc ABH est aussi OE, mais ne contient pas H, fin de l’arc; nous regarderons comme positives les sécantes et cosécantes qui contiennent la fin de l’arc, et comme négatives les autres.

7“ Nous regarderons comme négatifs les arcs comptés de A vers B'.

Fig. ;

3oG TRIGONOMÉTRIE.'

Toutes ces conventions sont subordonnées à la première; sans celle-ci les autres seraient vagues et ne produiraient que confusion.

Le but de ces conventions est de rendre applicables à tous les cas les formules démontrées pour tel ou tel cas en particulier. Il nous est impossible de prouver déjà ici que ce but est atteint; mais nous dirons que toutes les formules de trigonométrie dérivent de deux systèmes de relations; aussitôt que ces deux systèmes seront établis, nous montrerons que le premier est d’accord avec ces conventions, mais ne les nécessite pas, tandis que le second les nécessite impérieusement, et est d’accord avec elles. On reconnaitra aussi que les symboles négatifs doiveat ici , comme en algèbre, être assujettis aux règles connues.

Toutes les fois que nous énoncerons une ligne au moyen des lettres qui la distinguent sur la figure, nous entendrons désigner la valeur absolue de cette ligne. Ainsi OD, AC, désignent les valeurs absolues de ces lignes.

PROBLÈME

Discuter les signes des lignes trigonomèlriques pour toutes les valeurs de l’arc.

Supposons que le point C se confonde avec A : l’aro CA deviendra nul; le sinus CD se réduira aussi à zéro, de même que la tangente AE; quant à la sécante, elle se confondra avec OA ou r; le cosinus OD deviendra OA ou r; quant à la cotangente RG, elle augmente à mesure que le point C se rapproche de A, et on peut prendre le point C assez près de A, pour que la cotangente devienne plus grande que toute grandeur donnée : cette ligne augmente donc indéfiniment, et n’a d’autre limite que l’infini. La cosécantc de l’arc nul est aussi infinie. Ainsi

«n0=0, /g 0=0, jéc0=r,cOi0=r, CO/ 0=r=c ,cojéc0=oo .

Livnii t. 307

Si l’arc augmente de 0 à 90°, le sinus, la tangente, la sécante augmentent, te cosinus, la cotangente, la cosécantc diminuent, et dans le premier quadrant ces lignes conservent le signe A 45°, ainsi qu’on l’a déjà remarqué, les lignes directes sont respectivement égales aux indirectes. A 90“ le sinus est OB r; la tangente, qui a augmenté sans limite, ainsi que la sécante, est infinie; la cotangente est devenue zéro; la cosécante s’est confondue avec OB ; en un mot les lignes directes ont pris les valeurs ' que prennent les lignes indirectes de l’arc 0 et réciproquement, ce qui doit être, vu que le complément de 90° est 0.

De 90* à 180’ le sinus diminue et reste positif : par exemple pour l’arc ABl le sinus est IL. Quant à la tangente, ullc n’est plus dirigée sur AE, mais sur son prolongement : sa valeur absolue est AM; la tangente est négative comme tombant au-dessous de AA'. La sécante a pour valeur absolue OM ; elle ne contient pas la fin I de de l’arc; elle aura donc le signe — . Le cosinus de ABI est placé en OL; il tombe à gauche deBB'; il aura le signe — .

La cotangente BK aura de même le signe — , et la cosécante OK, contenant la fin de l’arc, aura -J-.

Donc, dans le second quadrant, le sinus et la cosécantc sont positifs; les quatre autres lignes sont négatives. Les lignes directes diminuent de valeur absolue de 90“ à 180°, les autres augmentent.

Supposons que le point I vienne en A' : l’arc sera de 180°, on aura

sin 180° = 0, (g 180° = 0, séc 180“ = — r,

cos 180° zz — r, cot 180° = — sc , cofécl 80“ = -+- eo .

L’extrémité de l’arc tombant dans le troisième quadrant, en H par exemple, le sinus tombe sur HL; il est négatif comme dirigé au-dessous de AA'; le cosinus sur OL; il est^ encore négatif; la tangente AE et la cotangente BG sont positives; la sécante tombe sur OE, la cosécante sur OG;

TRIGONOMÉTRIE

clics sont ncgalives comme ne contenaiil pas le point H.

De 180 à 270®, les lignes directes augmentent de valeur absolue, les lignes indirectes diminuent de même.

A 270' on aura

sin 270' = — r, tg 27 0° = so , séc 270° — — æ , coi270“= 0, coi 270" = 0, coféc 270'

Dans le quatrième quadrant en C', le sinus est — C'D, la tangente = — AM, la sécante = + OM, car elle contient la fin C'. Le cosinus =-)-OD, la cotangentc = — BK, la cosécante = — OK.

De 270' à 360® les lignes directes diminuent de valeur absolue, les autres augmentent de même.

Si le point C' revient en A, les lignes reprennent les valeurs-qu’elles avaient respectivement pour l’arc nul.

Ces résultats ne sont pas bornés aux arcs moindres que 360' : tout arc positif ou négatif qui se termine dans le premier quadrant AB, présentera les mêmes particularités que les arcs compris entre 0 et 90'; car, quel que soit l’arc, si son origine est A et sa fin C, il a les mêmes lignes trigonométriqiies que AC, puisque c’est le rayon OA et le point C qui les déterminent (déf. 2 — 6). De même tout arc terminé dans le second quadrant présentera les particularités relatives aux arcs compris entre 90‘ et 180’, etc.

On remarquera que, 1® le sinus a le même signe que le cosinus dans les quadrants impairs; il est de signe contraire au cosinus dans les quadrants pairs;

2* La tangente et la cotangente sont toujours de même signe; elles sont positives dans les quadrants impairs, négatives dans les autres;

3® La sécante est toujours de même signe que le cosinus, et la cosécantc que le sinus.

4® Le sinus et le cosinus varient entre-f-r et — r; la tangente et la cotangente entre + oo et — co ; |a sécante et la cosécante entre 4- r et + œ , puis entre — /• et — oo .

i.ivRE I. • 3og

Cc.s deux dernières ne sont jamais comprises entre + r

et — #•.

5" Enfin toutes les fois qu’une ligne change de signe en passant par l’infini, elle a le double signe lorsqu’elle est infinie. Soit, pour exemple , tg 90°; si l’on prend un arc compris entre 0 et 90®, sa tangente est ^ 0 ; l’arc augmentant jusqu’à 90°, la tangente augmente, reste positixe et devient -1- oo , Mais qu’au lieu de cela on considère un arc compris entre 90® et 180°; sa tangente est 0; l’arc diminuant jusqu’à 90°, la tangente reste 0 » et augmente indéfiniment en valeur absolue. Donc aussi tangente 90° = — oo , et par suite tangente 90° = + 00 .

De même des autres.

; THÉORÈMI':.

Si un arc augmente d’un nombre enlièr de circonférences, aucune de ses lignes trigonomélriques ne change.

Car le nouvel arc a les mêmes extrémités que l’ancien (déf. 2-5) : donc étant un nombre entier quelconque, on a

sin (2fi . 1 80°-f- jt) = sin x, cos (2k. 180'’-i-';r) '=-cos x, etc.

THÉORÈME

Si à un arc on ajoute un nombre impair de demi -circonférences, ses lignes trigonométriques ne changent point quant aux valeurs absolues; mais toutes les autres, excepté la tangente et la cotangente , changent de signe.

En effet, soit AC un arc : en y ajoutant un nombre im- pjg. 2 . pair de demi-circonférences, ori obtiendra un second arc, terminé en H, sur le même diamètre que C : ces deux arcs

TRIGO.'VOHKTRIh.

étant ainsi terminés dans des quadrants de même parité, leurs tangentes auront le même signe, ainsi quef leurs cotangentes; leurs sinus seront de signes contraires, de même que les cosinus, sécantes et cosécantes. D’ailleurs la tangente, la cotangentc, la sécante et la cosécantc auront les mêmes valeurs absolues AE , BG , OE , OG ; les sinus et cosinus formeront de part et d’autre des triangles égaux , et seront respectivement égaux en valeur absolue.

Ces propriétés ont lieu quel que soit l’arc ÂC; qu’il soit positif ou négatif, quelle que soit sa grandeur absolue, quel que soit encore le sens dans lequel on compte les demi -circonférences ajoutées. Nommant donc x un arc quelconque, positif ou négatif, /r un nombre entier positif ou négatif; on pourra représenter par (2^ -f-l ) 180° un nombre impair quelconque de demi-circonférences, et l’on aura

sin [(24- -t- t) 180°-f-ÆT] = — sinx cos [(2^-1- 1) I80°-t-o^] = — cosx tang[(2/r-|- 1) 180°-l-a:] = tgx col [(2/r -f- 1 ) 1 80°H- ar] = col x; etc.

THÉORÈME

Deux arcs égaux et de signes contraires ont des cosinus égaux , mais des sinus égaux et de signes contraires.

Fig. 2. En effet , soient deux arcs AC et — AC' dont les valeurs absolues sont les mêmes. Puisque AC=AC', la droite CC' sera perpendiculaire à OA: donci/nAC = CD, j/n ( — AC') = — C'D= — CD, et cof AC=OD=: cof ( — AC'). Cela posé, quelle que soit la longueur de AC, il est évident que les points C, C seront toujours de différents côtés du diamètre AA', et à égales distances de celte droite, hors les cas où ils tombent tous deux sur celte même droite AA'. Donc le cosinus sera toujours commun , et les sinus seront

LIVRF. t.

égaux et de signes eonlraires, excepté te cas où G et C' tombent sur AA', alors les sinus seront nuis tous les deux.

Ainsi X étant un arc positif quelconque, on a

sin ( — X) — — sin x , cos ( — x") zz cos x. (4)

Ces formules n’exigent pas que x soit positif ; car soit x' un arc absolu, et faisons-y x — — x' , elles deviennent

sinx'=. — sin(—x') , cosx'=cos( — x’).

Or, x' étant absolu , on a sin ( — .r' ) zz — sinx', cos( — x') = cosx' ; donc ces formules se réduisent aux identités

sin x' = sin x' , cosxi — cos x' .

Il s’ensuit que les formules (4) deviennent identiques si l’on y met pour x un arc négatif : donc elles s’appliquent aussi à ce cas et sont générales.

THKORèME.

Pour deux arcs supplémentaires l’un de l’autre 1* Les sinus sont égaux , de même que les cosécantes;

2° Les quatre autres lignes sont respectivement égales et de signes contraires.

Représentons l’arc AC par ar; soit IC parallèle à AA'; Fig. 2 . l’arc ABI sera le supplément de x. Ainsi ABI = 180 — x.

Or, on a

iinABI= 1L= CD— Jin AC... ou sin (180— a;)= tinx cos ABI=— OL=— OD= - cos AC... «os(180— a:)= — cos x

lÿ ABIz=— AM=— AE= — (ÿAC... Ijr (180— a:';= — tgx

co(ABI=— BK= — coiAC... co( (180 — x)= — cotx

sec ABI=—OM= — séeAC... séc (180— aî )= — sécx

cl C 0 S 8 C ABI=OK— cosécAC... cosw (180— cosécx

En général, si nous appelons supplément d’un arc x

TRIGUMOMÉTRIi:.

positif OU négatif quelconque, la différence 180 — x, ces formules seront vraies.

En effet , je dis qu’on peut donner à x des valeurs quelconques. Car soit x' un arc quelconque ; posons a:=t80+ x\ la première deviendra

Or il est prouvé que«'n( — x')=. — sinx' (p.4); et que sin (180-t-x') = — sinx' (p.3); donc la première formule devient identique si l’on y fait x~ 180 -1-x'. D’un autre côté x' étant quelconque, 180 -+- jc’ l’est aussi. Donc on peut donner, à .r des valeurs quelconques. Même raisonnement sur les autres formules (I).

PROBLÈME

Réduire au premier quadrant une. ligne trigonométrique quelconque.

On réduit d’abord à. la première circonférence.

1“ Si l’arc donné est négatif, on le rendra positif en y ajoutant un nombre suffisant de circonférences, ce qui ne change rien à la ligne trigonométrique (p. 4).

Exemples.

sin ( — 1346°) = sin ( — 1346°-t- 1440°) =sin 94°, 928°)= tg(- 928°-+- 1 080°) = /g- 152»,

etc.

2° Si l’arc est positif, on en retranchera autant de fois 360° que faire se peut (p. 2).

Exemples.

cos 864° = cos (864° — 720°) = cos 144°, cot 1729° = col (1729° — 1440°) =: col 289°.

Cela fait, si l’arc est encore plus grand que 180°, on en