LIVRE I

retranche 180°, ce qui ne change rien aux tangentes et cotangentes, mais change les signes des autres lignes d’après prop. 3.

Ainsi sin 237 = — sin 57,

vos 342 — cof 162 ,

/g 292 = 112, etc.

Enfin , si l’arc est encore plus grand que 90’, on passe au supplément, d’après les formules (1) (p. 5).

Exemples.

cos 162° = — cos 18°

/g 1 12° = — Ig 68" etc.

Rien n’empêche de modifier la marche de ces réductions; rien n’empêche non plus de descendre jusqu’au premier octant (c’est-à-dire au-dessous de 46“).

On trouve de cette manière

/g (1 7 50°) = /g (3 1 0°) = <g 1 30° = tg 50° = — coM 0°.

Car la tangente 50" est égale à la cotangente du com- , plémcnt qui est 40°;

sin{ — 820°) — sin 260° — — sin 80° = — cos 10°.

PROBLÈME

Trouver tous les arcs qui répondent à une ligne trigonométrique donnée , connaissant l’un de ces arcs.

1“ Soit donné le sinus d’un arc, c’est-à-dire soit l’cqua- 2. tion sin x~a; si a est positif, soit décrit le cercle dans lequel les arcs doivent être considérés , soit pris le point A pour origine et le quadrant AB comme premier quadrant; on portera a sur le rayon OB, de O en F; du point F on mènera une parallèle à AA'; soient I, C les points où elle

TRIGONOHKTRIË.

rencoiilrela circonférence; tous les arcs, tant positifs que négatifs, qui se terminent en C et 1, ont leurs sinus égaux à FO. Or, soit représenté par a l’arc AC, lequel est le plus petit des arcs positifs qui répondent au sinus donné: nommons k un nombre entier quelconque, H la dcini-circonférence; tous les arcs positifs ou négatifs terminés en C seront donnés par a; = 2/i H-f-a : car un pareil arc se compose de AC augmenté d’un nombre entier de circonférences, comptées de A vers B, ou de A vers B'.

Quant aux arcs terminés en I, ils se composent de ABI plus un nombre entier de circonférences positives ou négatives; mais ABI = ABA' — A'I = H — a; donc ces arcs sont donnés par ar = 24H-t-H— a = (2/r-|-l)II— a. Ainsi a étant le plus petit arc qui répond au sinus donné, k un nombre entier quelconque, H la demi-circonférence, l’équation

sin x~a

est résolue eomplétcment par

Si le sinus donné est négatif, on le porte de O en F', on mène HF'C' parallèle à AA', et les arcs terminés en C' et H sont les arcs demandés. Le plus petit arc positif est ici ABA'H qu’on représentera par a , et l’on trouvera pour x les mêmes expressions.

Pour déterminer toutes les valeurs de x, il suffit d’en connaître une; que l’on sache, par exemple, qu’une des valeurs de x est m : cette valeur m sera ou de la forme 24^H+a ou (2/f'+l)H — a;k’ étant un nombre entier.

Dans le premier cas, les valeurs de x peuvent se transformer ainsi :

la première

X = 2/rH+« = 2(4 -4-' ) H+ ( 24"H+a) = 2 (4- -k') H+m et æ: = ( 24-+1 ) H -a = [2 (4-+4-') +1 ] H ~(24-'H+a)