LIVRE I

Remarque 2. Ce$ cinq formules forment le premier des (leux systèmes dont il a été question à la remarque générale qui suit la définition ô. — Nous avons donc à prouver que ces formules s’appliquent à tous les arcs, quand même on ferait abstraction des conventions établies à l’endroit cité, mais qu’elles sont d’accord avec ces mêmes conventions. Or, quelque part,que l’arc se termine, pourvu que ce ne soit pas à l’extrémité d’un quadrant, les six lignes trigonornétriques et le rayon formeront toujours trois triangles rectangles semblables , qui donneront entre leurs côtés les formules (l)-(5). Que si l’extrémité de l’arc tombe sur celle d’un quadrant, ces formules seront encore satisfaites : car nous avons montré (p. 1) que

sin 0=0; /g 0 = 0 , séc 0 = r, cos 0 = r, cot 0 = 00 , coséc 0 = oo ,

valeurs qui satisfont aux formules (l)-(6).

On reconnaît de même que les valeurs absolues, relatives aux arcs de 90°, 180°, 270®, y satisfont. Donc ces formules seraient générales sans le secours des conventions citées.

Pour prouver qu’il y a accord , on remarquera d’abord que la formule (1), ne contenant que les carrés des sinus et cosinus, se trouvera toujours vérifiée quels que soient les signes de ces sinus et cosinus. Ensuite, dans le premier quadrant, où le sinus et le cosinus sont positifs , les formules (2)-(ô) donnent pour les quatre autres lignes

des valeurs positives. Dans le second quadrant le sinus est ^ 0 , le cosinus 0 ; les formules (2) , (3) , (4) don- \ neront la tangente, la cotangente, la sécante négatives;

V '6) donne la cosécante positive. Dans le troisième quadrant, où sinus et cosinus sont négatifs, les formules (2), (4) donnent les tangentes et cotangentes positives; (3) et (5) donnent sécante et cosécante négatives. Dans le quatrième quadrant où sinus <^0, cosinus ^0, la tangente.

TRIGO.NOMÉTRIE.

5aa

la colangentc, la cosécante seront négatives en vertu de (2), (4), (5); la sécante sera ^0 en vertu de (3). Ces résultats sont identiques avec ceux de la proposition 1. Il y a donc accord, et pourvu qu’on sache les signes du sinus et du cosinus (et qu’on observe les règles des signes) , les formules (l)-(o) donneront ceux des autres lignes. On peut donc dire aussi que les conventions faites sur les signes du sinus et du cosinus entraînent comme conséquences celles qui sont relatives aux autres signes si l’on admet la généralité des formules (l)-(5).

PROBLÈSIE.

Exprimer S quelconques des 6 lignes Irigonométriques d’un arc en fonction de la sixième supposée donnée.

11 y a deux cas.

1° Si la ligne donnée est le sinus, de la formule (1) on tire la valeur du cosinus et on la substitue dans les 4 formules restantes. De même si le cosinus est donné, de (1) on tire le sinus, et on le substitue dans les autres formules.

On trouve de cette manière ;

. rsina

cosa=:±y r' — sin'a, tga — — — -,

r’ — «Vrt

r' +rV^ r'‘—sin'a , r’

séca— - A^^ fCOla— : , cosec a —- — •

±Vr^—sin^a

2° Si la ligne donnée n’est ni un sinus ni un cosinus parmi les formules (2)-(5), on choisit celle qui donne la valeur de cette ligne; on joint cette formule à (1), et on cherche les valeurs du sinus et du cosinus en fonction de la ligne donnée. Ces valeurs trouvées, on les substitue dans celles des formules (l)-(ô) , qui n’ont pas encore été employées.

LrvRü I. 3it5

Supposons donnée la tangente. On prend les formules (2)et(l):

rsina

tg a = — ^ — , «n’ a + cos’’ a = r’.

° cos a

te a- cos a

La première donne sma— , valeur qu on

substitue dans la seconde, et il vient

a , cos‘‘ a

■cos' a ■=.r'' ,

d’où

puis

cos' a (tg'a-\-r'')—r*, r'

cos a :

± ^ r’ + fg’a

O 1 • . , • Ig a- cos a

Substituant ceci dans sma ■= , on a

j±- + tg' a

Dans ces valeurs de sina et cos a, le dénominateur doit avoir de part et d’autre le même signe.

Restent les formules (3), (4), (Ô), qui, substitution faite de ces valeurs du sinus et du cosinus, donnent

(6) séca = ±.v r'-{-tg'a, cota— ,

irn — r' tg' a

tS^ .

tga

coséca =.

Remarque Quelques-unes de ces formules se déduisent fort simplement de la figure 2.

1° Le triangle rectangle OÂE donne par exemple

OE = OA -t- AE ou séc' a-=.r' tg' a,

ce qui est la formule (6).

Par le calcul: la formule (2), élevée au carré, donne, si l’on ajoute r' de part et d’autre

TRIGONOMÉTRIE

r’jiVa (cos' a sin' a)

r' + <fi-’ a = = r' -,

cos' a cos' a

En vertu de (1), cos' a-\-sin' a~n'; r* [ r'

donc r'-\-ts' a ~ ) ~ séc'a en vertu de (3).

° cos' a \cosaJ

2° Les triangles semblables OAE, OBG donnent AE:OB:: OA: BG,

ou tga\ r\\ r\ cota, d’où cot a = — , c’est (7).

tga

Autrement : on a

rsina rcosa

tga — -‘ , cota ~ — : ,

cos a sin a

multipliant, il vient

rsina rcosa .

tgax cota — X — : = r',

cos a sina

ce qui est la même chose que (7).

Remarque 2. Lorsqu’on s’est donné le sinus, on a vu que plusieurs des autres lignes présentent deux valeurs

et d’abord cosa= -izV' r' — sin'a. Ce résultat peut se prouver d’une autre manière. En effet, chercher le cosinus en fonction du sinus, c’est chercher toutes les valeurs du Fig. 8 . cosinus qui répondent à un sinus donné. Or, que le sinus donné soit OF ou — OF', il y a deux, et pas plus de deux, cosinus correspondants, qui sont+OD et — OL : ils sont égaux et de signes contraires. Il y a de même deux tangentes AE,et— AM, ou ±AE, deux cotangentes BG et— BK; quant aux sécantes, pour le cas du sinus OF, les arcs terminés en C ont pour sécante-j-OE , et ceux qui sont terminés en I , ont pour sécante — OM : les cosécantes sont H-OG et -4-OK.