LIVRE I
PROBLÈME
Etant donnés les sinus et cosinus de deux arcs a, b, trouver les sinus et cosinus de leur somme et de leur différence.
Les arcs a et 6 sont supposés positifs , tous les deux Fig-. 4. plus petits que 46 “ et l’arc a'^b.
Soit O le centre, OA le rayon, AB =: a, BC = b. Tirez le rayon OB, et menez BD perpendiculaire à OA, CE perpendiculaire à OB. On aura
«n a = BD , cosa = OD , sin 6 = CE , cos b — OE.
On a aussi ABC = a H- 6. Prolongeant le sinus CE jusqu’à la circonférence en F , on a BF = BC ; d’où AF = AB — BC = « — b. Il s’agit donc de calculer les sinus et cosinus de ABC et de AF : les sinus sont les perpendiculaires CG, FII, abaissées de C, F sur OA, les cosinus sont OG et OH ; ainsi les quatre inconnues sont
sin (a+6) = CG, sin (a — b) — FII, cos (a-j-6) = OG, cos (a — b) — OH.
Pour les déterminer, on remarquera que si du point E, milieu de CF, on mène El perpendiculaire, et EK parallèle à OA, la première de ces lignes est la demi-somme des bases CG, FH du trapèze CFHG; de plus, menant encore FL parallèle à OA, on voit que CL est la différencé des mêmes bases, et par suite CK en est la demi-différence.
Donc, pour déterminer sin (n+6) et sin {a — b), il suffit de calculer El et CK; car on aura, ce que d’ailleurs la figure montre,
sin (a-hb) = CG = EI+CK ,
«n(a-6)= FH = El -CK.
De même cos (a-|-6) = OG = OI— GI = OI— EK,
cos (a-b) =OH = 0 I-f-IH= 0 I+GI= 01 -+-EK.
TRIGONOH^RIE.
et pour avoir les cosinus, il suffit de calculer leur demisomme 01, et leur demi-différence EK.
De ces quaires inconnues auxiliaires El, 01, CK, EK, les deux premières, avec la quantité connue EO = coj 6, forment le triangle EOI, semblable à BOD, où les trois côtés sont connus; les deux autres, avec CE = forment le triangle CKE, encore semblable à BOD. Car ces deux triangles ont les côtés respectivement perpendiculaires. Donc on trouvera la valeur de ces inconnues par les proportions
et
El 01 OE , , . ,
^ = QP = Qg déduites de OEI , OBD,
r*K FK r*F
De là
El = 01 = CK = EK =
BD.OE sina.cosb OB ~ ~r ’
OD.OE cos a. cos b
OD.CE cosa.sinb
BD . CE sin a . sin b
La substitution donnera donc
sin a cos b~\-sin b cos a
sin a cos b — sin b cos a
sin (a-\-b)z=
sin (a — b) =
cos (a+ô) =
cos (a — b) =
cos a cos b — sin a sin b
cos a cos b sin a sin b
