LIVRE I

Ces quaire formules conslitucnt le second des systèmes «lont on a parlé à la remarque générale après déf. 5. Nous allons donc prouver qu’en suite des conventions énoncées dans cet article , les formules ci-dessus s’appliquent à tous les arcs. Pour simplifier, nous ferons r= 1.

D’abord on a supposé a^b ; mais les formules (1), (3),

(4) étant symétriques par rapport à a et b, rien n’empéclie d’y supposer aussi a<^b. Quant à la formule (2), si on la multiplie par — 1 , on a

(5) sin (i — a) =: sinb cosa — sina cosb.

Si (2) est vraie, (ô) l’est aussi, et réciproquement. Of (5) prouve pour ô et a ce que (2) prouve pour a et b. Donc (2) est aussi vraie pour b'^a, puisque (5) l’est. Du reste la fig. 4 n’exige pas absolument que a soit différent de b, de sorte qu’on peut supposer a=b.

Remarquons une fois pour toutes que par suite du raisonnement qui vient d’être fait, tout ce qui sera prouvé sur a sera vrai sur b. Cela posé, je dis que rien n’empêche de donner à b des valeurs comprises entre 0 et — 45". En effet, soit — b' une pareille valeur ; si dans (1) et (3) je donne à a une valeur comprise entre 0 et 45”, et à 5 la valeur b', ces formules sont exactes ; mais on aura absolument les memes résultats en donnant dans (2) et (4) à b la valeur — b' ; donc (2) cl (4) subsistent pour les valeurs de b depuis 0 à — 45. En remplaçant dans ce raisonnement (1) et (3) par (2) et (4), et réciproquement, on conclura la même chose pour (1) et (3). Ainsi les quatre formules sont vraies pour toutes les valeurs de a et b, de +45 à — 45; et, en général, si elles sont vraies pour b = +m , elles le sont aussi pour b= — m.

Supposant maintenant que les formules soient vraies pour toutes les valeurs de a , depuis une valeur a' — 90” jusqu’à +a’, je dis qu’elles le sont encore de -|-a' à 90+a'. En effet, si dans (1) on pose a=90+jc, on a

TRIGONOMÉTRIE

3ii8

(8 ) sm (9 sin (90-f-x) . cos b-\-cos (9 0-|-jf) s in b.

Mais sin (90-|— a?— f-i) ~ cos ( — x — b') — cos (x-\-b'^.

De meme sin (90+x) = cos x

cos (90-+-a;) = sin ( — x) = — sin x.

Donc (8) se réduit à j/«(90+ar4-3) = cos {x-^-b') — cos X cos b — sinx sinb.

formule identique si x^a', puisqu’on suppose (3) vraie

pour az=a'. Donc (1) devient identique si l’on y fait rt = a;+90°. On prouvera la même chose pour les trois autres. Mais si l’on fait varier x depuis a' — 90° jusqu’à a', a prendra toutes les valeurs depuis a' jusqu’à a'-i-90°. Donc si les formules (l)-(4) sont vraies de n'— 90° jusqu’à a', elles le sont jusqu’à a'-f-90°. Or elles le sont depuis — 46 1=46 — 90° jusqu’à 46°; donc aussi jusqu’à 46-1-90°; l’étant jusqu’à 46-f-90", elles le sont jusqu’à 46-1-2.90°, etc., jusqu’à l’infini. D’ailleurs ce qui est prouvé

pour a l’est pour b.

Enfin il a été prouvé tout à l’heure que si les formules sont vraies pour certaines valeurs positives de a et de b, elles le sont aussi pour les mêmes valeurs prises négativement. Donc enfin leur généralité est absolue.

Reste à prouver que la généralité de ces formules nécessite les conventions faites sur les signes. Prenons la formule

cos (u-j- 6) = cos a cos b — sin a sin b.

Faisons-y 6 = 90°, ce qui donne cos 6 = 0, sinb=\. Soit d’ailleurs «<^180°, il vient

cos (a-|-90°) = — sin a.

Donc dans le second et le troisième quadrant, les cosinus doivent être négatifs.