LIVRE I
Prenons encore
sin (a+6) = sin a cosb-\-sin b cos a.
Soit a<^180“ et A = 180", on aura cosb — — 1 , 6 = 0 , et sin (a-j-1 80") — sina.
Par suite, dans le troisième et le quatrième quadrant, les sinus sont nécessairement négatifs.
En résumé donc les conventions en question sont suffisantes et nécessaires pour que les formules fondamentales de la trigonométrie soient absolument générales.
PROBLÈME
Trouver le sinus et le cosinus d’un multiple quelconque d'un arc a en fonction du sinus et du cosinus de cet arc. A cet effet , on prend les formules
( 1 ) sin (a-\-b) =sina cos b-\-sin b cos a ,
(2) cos (a-\-b') — cosa cos b — sin a sin b.
Pour avoir sin 2a, cos 2a, on y fait b— a, ce qui donne
(3) sin 2a — sin a cos a-\-sin a cos a — 2 sin a cos a ,
(4) cos 2a = cos’’ a — sin' a.
Pour avoir sin 3a , cos 3a, dans (1) et (2) on fait b = 2a; il vient
sin 3a = sin a cos 2a~{-sin 2a . cos a , cos 3a — cos a cos 2a — sina. sin 2a.
Remplaçant sin2a et cos2a par leurs valeurs (3) et (4), on trouve
sin 3a sinaxÇcos'a — sin'a^-^-cos a x2 sin a cos a, =. sin a cos'a — ^/n’a-f-2 sina cos'n ,
53o TRIGONOMÉTRIE.
OU (6) sin3a=z3 iina cos'a — sin^a=Zsin.a(l — sin^a)
— sin^a = 3 sin a — 4sin^a.
De même
cos 3a=cos a (cos'a — sin’a') — sin a X 2 sin a cos a , —cos^a — cosa sin'a — ^sin'a cosa, ou (6) cos 3a cos^a—3cos a sin'a — cos^a — 3coja X (1 — cos'ci) — Acosta— icosa.
On peut pousser ces opérations aussi loin qu’on voudra.
Poar avoir des formules générales, on aura recours aux imaginaires. On multiplie entre eux les deux facteurs
eoso + 1 .sin O
cos 6 4- —1 . sin 6
cos a cos 5-t- 1/ —i .sin a cos iH- 1/ — 1 . sin 6 cos a - sin a . sin b
ou cos a . cos b— sin a sin b-t- — 1 (sin a cos 6-+-sin b cos a).
Ici la partie réelle est égale à cos(a-i-b), et le coefflcient de 1 est sin (a-i-b).
Donc
(7) (cos . sin a) (cos b-l- l/— 1 . sin b )
= cos fa-t-6^-1- 1 . sin(a-hb).
Changeant ici a en a-t-b et b en c , on aura
[eos (tt-+-b) + ^zdî . sin (a-+-b)] [cos c -+- (/ — 1 . sin c]
= cos (a-t-b-Hc) + ^ - 1 . sin (a-t-b-t-c) , on , vu l'égalité (7),
(cos o-t- . sin a) (cos b-t- 1/ — 1 . sin b) (eos c+l/'—i . sine — cos (o+b-t-c) -I- 1 . sin (o-1-b-l-c).
En général , si l'on suppose cette propriété vraie pourn facteurs de cette forme, on prouvera facilement qu'elle est aussi vraie pour n-t-1 facteurs. On peut donc poser en général
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LIVitE I.
(co»a,+ l/— t .sfno,) (co$ a, -t- i/'—l . sina,}.
(cosOo-4- \/ —1 . »tn a„) — co$ (a.+Oi-H -t-a„)4-
v'—i. . tin (a,-ha,-t- +oJ.
Faisant ici o, = Oj = . . . = Ou = a, on a
(eos o+|/ — l.sin a)°z= coi na+j/ — l.sinna (formale de Moivbe',
ou, en développant le premier membre d’après le binôme de Newton ,
cos na+ \/ — 1 . jin na =;
coj”a+nl/^ï. cos"— ' a . sina — . coj"
jL • A
'a . stn* O—
— 1 . eos”~^o . sin^a-h .
t»Cn-l)
=eos’’a ^ ^ . COI
’o. sin’a-t- -i cos— 4oX
tinia— etc.
-+-K —1 ! ncos"~‘o. sma— — ï* 2~i cos" '‘o itnSa-t- j
Égalant les parties réelles, puis les parties imaginaires, on a
(8) cosna = cos‘‘a ^ ^ . cos”~’a .sin’a-t
n(w— l)(n— 2)Cn— 3;
cos°~'<atin^a — etc.
(9) tinna
= f» cos"— ‘a . sin O -y- —7. cos"— stn^oH-
Ce sont les formules demandées ; si l'on y fait successivement n=2,3, on reironve les formules (3), (4j, (5) , (6;.
Remarque 1. Les formules (3), (4), (5), (6) peuvent se pig. 5. démontrer géométriquement. Pour les formules (3) et (4), soit AB l’arc a, ABC l’arc 2a; menez la corde AC, le rayon OB , et le sinus CF ; cette figure , qui n’est que fig. 4 modifiée, donne
AD = DC=sma , OD = co4a,
CF = sm2a, OF =coi 2a.
Les irianglcs semblables OAD, AFC donnent CF:CA::OD:OA,
car
OA = r=l.
Voilà la formule (3).
Ensuite, du point D menez DE perpendiculaire à OA ;
il vient
