OF.OG

“ÔB“

c’est-à-dire GE=jma(l — isiri'n), OE=:eojfl (1 — isin'a').

Delà slnia = 2sina-+-sina — Asin^a ,

= 3«n a — 4sin^ a,

coi3a = cofa — Asin'a cosa — cosa — Acosa X (1 — cos^d) — Acosta— Zcosa.

Ces démonstrations géométriques sont loin d’avoir la généralité des démonstrations analytiques qui les précèdent.

Remarque 2. Cosna peut toajoars s'exprimer en fonction rationnelle de cosa; mais sinna ne peut s’exprimer en fonction rationnelle de lin a , que si n est impair ; c’est ce que prouvent les formules (8) et (9). Car la formule (8) ne contient que les puissances

paires de fin a: on peut donc y remplacer sin‘‘a, sin'ia par

1— cos’a, (1— coj’a)’, etc., ce qui n’introduit point de radicaux. Quant à la formule (9), elle renferme

cos"'~‘a . cos"~^a. cos”~^a, etc.; or si n est pair, les exposants seront impairs, rin na renfermera le facteur cos a = [/—l sida , multiplié par un facteur qui ne renferme eosa qu’à des puissances paires, lesquelles sont des puissances entières de 1— sfn’o; par conséquent sinna sera une fonction irrationnelle de sin a. et aura deux valeurs pour chaque valeur de ima. Si au contraire n est impair, les exposants n-1 , n-3, ... sont pairs , et cos"~'a , cos°~^a .... seront des fonctions ration-

Déliés de si'na, de même que linna . qui par suite n'aura qu'une seule râleur.

Ces résultats peuvent s'établir d’nno antre manière. En effet , 1° chercher cotna en fonction de cota, c'est chercher toutes les valeurs de cosna qui répondent à une valeur donnée de cota, c'est-à-dire qui répondent à tous les arcs que détermine cot a ; mais ces arcs sont compris dans les formules

X = 2fcH+» , X = '2ÀiR— K (p. 7).

Donc on doit trouver pour cosna toutes les valeurs de cos n (2/eH+x) , cotn(2kH—»).

Or cot n = cot (’2fcnII-l-na) = eoi n* Ép. 5)

cot n (2JtB - «) = COI (2ànII— næ) = cot (— n») = coi nx.

fp. 5 et 6).

Donc il n’y a qu’une seule valeur pour cosna en fonction de cos a.

De même, chercher sfnna en fonction de sin a . c'est chercher les valeurs de stnna qni répondent à tons les arcs que détermine sin a, lesquels sont

x=2kH-h» . x = (2k-hi)lî—cc ; (p.7)

tes valeurs trouvées sont donc celles de

lin (2knH-Ht») , sin [(2in-t-n) H— n«].

Mais sin(21cnH-«-na)= sinnx (p. 5.)

et sin [(2àn-t-n) H— an] = sin (nH— nx).

Si n est pair, celte dernière valeur se réduit à sin ( —no) = — sin nx; tandis que si n est impair, elle devient sin(H— nx}=sinnx. Donc dans le premier cas sinna a denx valeurs , dans le second ii n'en a qn’nne.

PROBLÈME

Trouver sin ^ a , cos ^ a en fonction de cosa.

A It

A cet effet, dans la formule (3), prop. 12 , on remplace

a par - a , il vient