OH
BE=AE = Jin 2 ^ »
OE — cos
De plus, à cause des parallèles, on a OE=FB.
Mais dans le triangle rectangle ABD, on a
Âb’=ADxAH, BD = ad X DH.
Or, AB =: 2BE = 2 sin ^a, BD = 2BF = 2 cos ^ a;
puis AD = 2r = 2,AH=AO-OH=l — cosa, DH = OD -{- OH = 1 -)- cosa;
donc les relations ci-dessus donnent 4 sin' i a = 2 (1 — cos a ) , 4 cos' i a = 2 (l-t-coja).
TRIGONOMÉmiE.
d’où sin ^ a = ± ^ —
-cos a 1
1+coi a
Remarque 9. Ces formules montrent que sin ^ a,
cos - a, exprimés en fonction de cosa, ont chacun deux
valeurs. Et , en effet , chercher une inconnue en fonction de cosa, c’est chercher toutes les valeurs de cette inconnue qui répondent à tous les arcs que détermine ce cosinus. Mais a étant le plus petit arc positif déterminé par ce cosinus, tous les autres sont donnés par
Donc les valeurs de sin ^ a seront
sm-
. /2/fH+a\ 1 , /2A:H — a
-\ , sin-x = sin f —
. / . 6 / 111 x = sin[
OU
sin (
Si k est pair, on a (p. 4)
sin -{--c^-xisin^a,
sin ^A-H — sin 1 a^=— sin ^ a .
Si k est impair, on a (p. 3)
. t \ .1 • Ait ^ ■ 1
A^H a j = — sin - a, — - J = sin- a.
Ainsi sin a a deux valeurs sin - et , — sm^a-
On reconnaît de même que cos - a admet les valeurs
-+-cos-^a, — cos-^a.
Que si l’arc a est donné , on saura dans quel quadrant tombe la fin de ^ a, on saura donc quels sont les signes
respectifs de sin ^ a , cos ^ a, ce qui suffit pour choisir parmi les valeurs que fournissent les formules.
Trouver sin - a , cos - a, en fonction de sin a.
Dans la formule (3), prop. 12, remplacez ^ a par a; il
sina=^ sin^ acos^ a , \-sin'' ^ (a)
Am ma
posons
cos - a = X, sin - a — y,
d’où ^ xy = sina , .r’-j-j’ z= 1 . {b)
Ajoutant et retranchant , on trouve
= l+«'rea , et (x — yy — l — sin a.
Soit pour abréger V' a — 2/n, \/ 1 — sina~2m' ; il vient
x-{-jr =. ± 2m , X — x~± 2m'.
Ce qui donne les quatre systèmes suivants :
TRIGONOMÉTRIE
rx-i-y —
2m d’où X =. m-i-m \
x——m->rm'\
(ar— j =
Il y a donc quatre solutions pour la question; mais si l’arc a est donné, on peut toujours reconnaître quelle est celle de ces solutions qui convient à la question. A cet effet posons a = 2d étant positif et 2H. On
aura
Supposons d’abord h pair; l’arc | « et l’arc d se termineront au même point, comme cela arrive toujours pour a et 2d. Cela posé, il y a quatre cas ;
1° 2d < 90°, d’où sin a > 0, m > m' et d < 4S.
Il s’ensuit que ^ termine entre 0 et 45°; donc
sin - a et cos ^ a sont > 0 , et comme m^ni, c’est le 2 2
système (1) ou le système (2) qui résout la question. Mais comme d est 46®, sin ^ a ou sin d est cos ^ o ou
cos d; donc c’est (l). ^
2° 2d <C 4.00 » ™3is ^ 90° ; encore m'^rri ; sin 2 “
cos ^ a sont ^0; mais comme d tombe entre 46 et 90®, sin d est ^ cosd , et l’on a le système (2).
