LIVRE

3° 2^ 270 et ^ 180°; ici sina <^0 etm<^m'; d’ail-

leurs 136 et ^ 90, ce qui montre que sind^ 0 et cosâ<^ 0 ; ce sont les formules (2) ou (4) qui conviennent. Mais entre 90 et 135 le sinus est ^ la valeur absolue du cosinus ; donc c’est (2).

4® 2d<C[ 360 et ^ 270; sina<^0, m m' ; sinâ est

^ 0 et cosô<C,0; mais de 135 à 180, le sinus la valeur absolue du cosinus ;• donc c’est (4).

Supposons maintenant /r impair. Dans ce cas ^ a

se ter-

mine dans le quadrant opposé à celui où tombe d; ainsi les valeurs de sin 1 a et cos a sont de signes contraires

à celles de sind , cosd, respectivement. Par suite

. I® Si 2d*\ 90®, les formules à prendre sont (4)

2° 2d< 180et>90®,

3° 2d<270 et>180°

4° 2d< 360et>270’

Si donc le calcul donne quatre solutions , c’est parce que la même solution ne convient pas à toutes les valeurs de l’arc a.

Remarque. Soit a le plus petit arc positif qui répond à sina; tous les autres arcs qui y répondent sont compris dans les expressions 2/rH-)-a, (2A-+1)H — a (p. 7); ainsi les équations (5) ne changent pas si l’on remplace a par ces valeurs. Il s’ensuit que y représente le sinus de la moitié, et x le cosinus de la moitié de tous ces arcs; donc

r = 2 j = sm {kH+- -

TRIGONOMÉTRIE

Si k est pair, ces formules se réduisent (p. 4)

Si k est impair, elles se réduisent (p. 3)

— sm ~ a , — cos ~ a ■

et a

Ce qui fait les quatre valeurs ± sin - , ± cos - .

De même pour cos ^ a on trouve les quatre valeurs

Ci. CJL

± cos — ,^sin — , ce qui est d’accord avec les systèmes 2 2

(1), (2), (3), (4), en ce que les quatre valeurs de ros - a sont les mêmes que celles de sin - a, etc.

PROBLEME

Exprimer sin et cos 3 a en fonction de sina cl cosa.

Dans les formales (5), (6), prop. 12, on remplace o par ja. et l'on a

(1) iino=3s<n^a— 4*«n3 - a,

eoia =4cos3g a— 3 coi g a.

Posons sin - a = a;; la première cqualion ordonnée devient

4*3 — 3X+ sin a = O ,