ANGLES ET LONGUEURS

Une droite de longueur donnée, ou un arc de cercle, peuvent être partagés en 2, 4,8, 16, etc., parties égales ; en continuant les subdivisions, on peut partager l’une et l’autre longueur en parties égales aussi petites qu’on voudra , en parties plus petites que telle ligne qu’on voudra assigner. C’est ce qu’on exprime en disant qu’on peut partager une droite de longueur donnée en parties égales infiniment petites.

Définition I. Une longueur employée dans un raisonnement quelconque est dite //^n;ment petite, lorsqu’au lieu de cette longueur-là on peut employer toute autre longueur, quelque petite qu’elle soit, par rapport aux données de la question. On entend de même par surface infiniment petite , une surface qui peut être remplacée dans le même raisonnement par toute autre, quelque petite qu’elle soit par rapport aux données.

Quelquefois il arrive que, dans les constructions, certaines grandeurs sont tellement liées entre elles, que si l’une d’elles est remplacée par d’autres de plus en plus petites, quelques-unes de celles qui lui sont subordonnées se trouvent aussi remplacées par d’autres de plus en plus

r.ÉOMÉTRIE.

petites, sans que ce décroissement ait une autre limite que zéro. Telles sont, par exemple, l’arc et sa corde; car on peut prendre dans un cercle donné un arc assez petit pour <pic la corde soit aussi petite qu’on voudra ; c’est ce (pi’on exprime en disant qu’un arc infiniment petit est souslcmlu par une corde infiniment petite.

Rn résumé donc, on entend par infiniment petite une ;jrandenr qui, dans le même raisonnement, peut être remplacée par «me infinité d’autres, aussi petites qu’on voudra par rapport aux données, soit que cette substitution puisse s’opérer immédiatement et à volonté, soit qu’elle puisse être conçue comme une conséquence d’autres constructions ou raisonnements. Celte définition peut elle-même être présentée sous la forme suivante : Une grandeur est infiniment petite lorsqu’elle, peut être rendue plus petite que toute grandeur donnée de même nature.

Il y a encore quelques expressions dont nous noos servirons pour donner aux raisonnements plus de concision, et que nous allons expliquer par un exemple tiré de l’arilbroétique.

On sait que si aux deux termes d'une fraction telle que ^ on '

ajoute un même nombre, la nouvelle fraction obtenue est pins grande que la première; si sur celle nouvelle fraction on opère de meme, on en obtient une troisième plus grande que la seconde, et ainsi de suite. Cependant par celle opération seule on ne pourra

jamais déduire de la fraction - une nouvelle fraction supérieure

ni même égale à l'unilé , puisque dans tontes ces fractions le numérateur sera surpassé de deux unités par le dénominateur. Oo peut cependant arriver ainsi à des fractions qui diffèrent de l’unité d’aussi peu que l’on voudra; ainsi, en ajoutant un million aux

deux termes, on a la fraction t’*^’*^** qui ne diffère de l’unité

•1*'® • Pour exprimer celle propriété d’nne manière

concise , on est convenu do dire que l’on fait varier le numérateur

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