LIVRE III

c( lo dénominateur de la rraclion - , on que l’on donne des accroir-

Htncnti à CCS deux termes*; on est convenu encore de dire que si

les deux termes de la fraction - reçoivent dos accroissements

é^aux, aussi grands qu'on veut , la fraction - croîtra, mais que^

la limite do cette fraction sera l’imité. On pourra faire en sorte que les fractions que l’on obtient approchent do l’unité d’aussi près qu'on vendra , ou , en d’autres termes , on peut faire en sorte que

la fraction en variant , vienne à différer inOniment pou de sa

limite 1 ; mais jamais elle n'atteindra cetle limite.

Dans cet énoncé , on regarde donc les fractions - , -,

comme les valeurs que prend une grandeur abstraite, qu’on désigne ici sous le nom de fraction variable ou simplement variable, et l’on ajoute que cette variable peut s’approcher indéfiniment do sa limite 1.

PiiFi/nTioir U. En général, lorsque l'on considère plusieurs grandeurs assujetties à un nom , à une définition commune, on dit quel quefois que ce sont des valeurs d'une même variable; si ces quantités , rangées par ordre do grandeur, vont en croissant ou en décroissant , mais sans dépasser, ni même atteindre une certaine valeur déterminée dont elles peuvent s’approcher d’aussi prés qu'on veut, on dit que les valeurs de cette variable ont pour limffe cette valeur déterminée.

Il arrive ainsi que les démonstrations roulent sur plusieurs espèces de grandeurs : 1° les unes sont données et déterminées par la nature même do la question ; 2° d’autres sont arbitraires et peuvent être rendues aussi petites qu’on veut, ou peuvent être remplacées chacune d’une infinité de manières par d’autres aussi petites qu’on veut ; 3° d’autres enfin se composent d’une combinaison par addition ou soustraction d’une grandeur de la première espèce avec une grandeur de la seconde.

Les grandeurs de la première espèce ne changcanl pas dans le même raisonnement, on les appellera des grandeurs invariables finies. Celles de la seconde et de la troisième sont variables. Mais celles do la seconde sont inflniment petites, leur limife est zéro ,

GÉoNÉTRin.

tandis que celles de U troisième ont une limite différenle de zéro ; on peut les appeler des variables finies.^

TnÉORÈHE.

Soient A , B deux grandeurs finies invariables ; », (I deux infiniment petits ; dans toute relation telle gue A-H* = B-(-0 ,

on peut supprimer les infiniment petits, et conclure que A =B.

En effet , si A était plus grand que B, par contre t> devrait être plus grand que », cl surpasser * précisément d’autant que A surpasse B; mais la différence entre A et U est invariable ; la différence P~» est moindre que |t; elle est donc infiniment petite, et peut toujours être supposée moindre que la grandeur finie A— B ; donc elle n'est pas égale à A— B ; donc A n’est pas plus grand que B. De luéme B n'est pas plus grand que A. Donc A = B.

Remarque i. Bien n’empëclic que l'équation ne soit de la forroo A — « = B — p; car en ajoutant a et ^ de part et d’antre, on aura A-t-() = B-t-* , d'où A = B.

Remarque 2. Rien n'cmpéchc que A et B ne soient formés de • plusieurs quantités combinées par addition cl soustraction. De même », f? peuvent être formés de l'addition de plusieurs infiniment petits. Car si deux quantités sont infinimciit petites, leur somme l'est aussi; en effet, si l'on veut rendre cette somme moindre qu'une grandeur donnée , il suffit de rendre chaque partie moindre que la moitié de cette somme. Il en est do môme d’un nombre quelconque d'infiniment petits, pourvu que ce nombre soit invariable, ou du moins qu'il n’augmente pas, tandis que les infiniment petits s'approchent de zéro.

Remarque 3. Pour faciliter l'application du théorème ci-dessus , on SC guidera d’apres les observations suivantes :

l°Tout infiniment petit multiplié par un facteur quelconque assujetti à ne point surpasser une certaine limite invariable, donne un produit infiniment petit.

Car si ce facteur reste, par exemple, moindre que iOO , il est clair que pour rendre le produit moindre qu’une grandeur donnée, il suffil de rendre le facteur infiniment petit moindre que la 100' partie de celte grandeur donnée.