RÉSOLUTION DES TRIANGLES RECTILIGNES ET SPHÉRIQUES

Pour rendre les considérations exposées jusqu'ici, applicables à la résolution des triangles, il faut calculer au naoins une des deux séries de triangles dont il a été question à la déf. 1 du liv. 1. L’bypotbénuse de ces triangles est le rayon, les côtés de l’angle droit sont les sinus et cosinus des angles aigus depuis 0° jusqu’à 90°. On supposera provisoirement encore le rayon = 1 , de sorte que la question est de calculer les sinus et cosinus en supposant que les arcs croissent d’après une certaine loi : nous admettrons, comme dans les tables de Gallet, que les arcs suivent une progression arithmétique, dont la raison sera 10". Ce calcul est fondé sur les principes suivants.

THÉORÈME

Tout arc moindre quun quadrant est plus ^rand que son sinus et plus petit que sa tangente.

Soit l’arc AB>\90°; tirez OA, OB, puis la tangente Fi,- lo AE de l’arc, et son sinus AD. Faites tourner la figure OAE autour de OE, afin de construire sa symétrique OEC par rapport à OE. La corde AC est l’arc ABC, qui est luiméme AEC. Prenant les moitiés, on a

TRir.ONOMÉTRlE.

AD <AB< AE, ou sina<C^ ^

Corollaire, Soit .1 un arc infiniment petit : le rapport du sinus à l'arc différera infiniment peu de l’unité.

sina

Car puisque im<i<^rt,ona

sin a

D’un autre côté t<ra^ a ou

cos a

d’où

^ cos a.

sina

Le rapport est donc compris entre 1 et cos a;

mais si l’arc est infiniment petit, 1 — cosa l’est aussi; donc diffère infiniment peu de 1, de sorte qu’on peut

sin a

fl

poser

sin a

=zl — infiniment petit.

Quant à ce que t — cosa est infiniment petit si a l’est, on remarquera que cela signifie qu’on peut prendre l’arc assez petit pour que le cosinus s’approche du rayon d’aussi près qu’on veut, ce qui est évident, puisqu’à tout cosinus, de quelque peu qu’il soit inférieur au rayon, il répond un arc.

THÉORÈME

La différence entre un arc moindre qu’un quadrant , et son sinus, est plus petite que le quart du cube de l’arc-