LIVRE II

sm - a ^

En effet, on a (pr. 1) ^ ^ - a.

cos - a

Multipliant par 2 cos'' , on a

2 sin ^ a . cos ^a'^a. cos' ^ « ou ^ —sin' ^ ^ j

D’un autre côté sin - a étant sin' - a

<T - a’ et au contraire.

1 — sin' ^ a sera X 1 - 2 4

sera

Donc 2 sin - a cos - n ou sin a'^ al 1 — - a'

ou

sin a ^ n — -- ,

d f - * fl

OU rt — sin a <T

Corollaire. Nous avons maintenant pour sin a deux

limites qui sont a, et a — — , ce qui nous permettra de

calculer par approximation le sinus de 10".

A cet effet on a le rapport de la demi -circonférence au rayon, qui est

Cet arc contient 180°, ou 180x60' = 10800 minutes; il contient 10800x6 fois l’arc de 10"; divisant n par 1(1800x6 = 64800, on trouve

TRIGOnOMÉTRIE.

arc de 10" = 0,00004 84813

68ll0-t-(î... d<

Augmentant le dernier chiffre d’une unité, on aura 10" <0,00004 84813 68111.

Pour avoir la seconde limite desin 10", il faut prendre « en moins, cl en retrancher ^ a’ pris en plus : on trou- 1 29

vera que 7 <T;r-. ; donc

oq

^ lO'S

ou > 0,00004 84813 68081.

Voilà donc le sin 10" connu à moins de 30 unités décimales du quinzième ordre. Calculons le cosinus en mesurant l’approximation. Soit a la limite supérieure, a la limite inférieure du sinus , limites qui diffèrent de

. On a

cos 10" >1^1 — a’ et cos 10" < l/l -a'*.

Si l’une de ces racines pouvait s’extraire exactement, elle donnerait le cosinus avec une approximation mesurée par '

quantité moindre que

(a — a') (ct-f-a')

et à fortiori que

— 7 , ou que