LIVRE
Mais a— a' < jqTs :
plus un calcul préliminaire
prouve que — a sur le cosinus serait
’ ^ 0,99 et comme a <T , l’erreur
0,99x10' MO’
ou
Mais on ne saurait 1— a’. Cette racine,
avoir exactement la racine carrée de
à près, en moins est
0,99999 99988 24778 nombre même exact à moins de ■
En prenant ce nombre pour coslO", on commettra donc une erreur moindre que
Donc sin 10" est connu à moins de trois unités décimales du 14* ordre et cof 10", à moins de cinq unités du 16®.
PROBLÈME
Calculer les sinus et cosinus de 10" en 10", pour le premier quadrant.
Il suffira de se borner à la moitié du quadrant ; car deux arcs tels que 45 °-|-ot et 45" — m , étant complémentaires , on a
sin (45"-l-m) =r coj (45" — m) coi(45°-f-m) — sin (45" — m).
TBIGONOMÉTRIF.
Ce qui montre que, les sinus et cosinus étant calculés jusqu’à 45°, pour avoir le sinus d’un arc 4ô’-l-m plus grand que 45°, il suffit de prendre le cosinus de son complément 45° — m qui est 45°. De même le cosinus.
Cela posé, les formules (1), (3) , p. 20, 1. t , donnent
sin (a-J-5) = sinax^cos b — sin(a — b) cos (a-H/>) = cos a X 2 cos b — cos (a — b).
Les arcs a — b, a, a-\-b forment une progression arithmétique dont la raison est 5; posons a— 5 = 1 , a = t, , a+5 = /,; nous supposerons d’ailleurs 6=10''; coflO" est un nombre connu que nous nommerons ^ ; il vient
. sinl^ = 2(3 .sin t, — sint
cost,= ‘2^. cos t,—cost.
Si l’on fait ici < = 0, on aura /, = t0", t, = 20"; ces formules donneraient donc le sinus et le cosinus de 20"; posant ensuite t = 10", t, =20", on aura <, = 30", dont ces mêmes formules donneront le sinus et le cosinus. En général , connaissant les sinus et cosinus de deux termes consécutifs de la progression 0, 10", 20", 30", etc. t on trouvera le sinus du terme suivant en multipliant celui du précédent par 2(3, et retranchant celui du terme antéprécédent. De même pour le cosinus.
Mais comme 2(i est un nombre qui diffère très-peu de 2, on peut simplifier l’opération; nommant /f la différence 2-2(3 , qui est égale à 0,00000 00023 50444 — etc., on a 2/3=2— 6-, et les formules (1) deviennent sint^ = 2«re t, — sint — ksint, cosl,= 2cost, ~cost — k cos t,.
De là sin t,—sin l, = sint,— sin t—k sin t, (2)
cost, — cos t, — cost, — cost — kcost,. (3)
Lorsqu’on connaîtra la différence sin t , — sin t , il suffira
