LIVRE II

(.CS logarithmes des tangentes se déduisent facilement de ceux des sinus et cosinus. Car on a

rsina

d’où log tga~ log sin a — log cos 0.

Quant à la cotangente, puisque cota=. , on a

tga

log col a = 20 — log Ig a.

Les tables ainsi calculées fournissent les moyens de trouver par approximation les logarithmes des lignes trigonométriques relatives aux arcs autres que ceux qui sont compris dans les tables mêmes, et réciproquement.

A cet effet , les tables donnent les différences entre les logarithmes successifs des sinus, cosinus, etc. S’il s’agit, par exemple, d’avoir le/og«'ral6° 32', 28", on cherche dans les tables celui de 16’-32' 20", qui est 9,454 3367; la différence est 709. Cela posé, on fait la proportioh 10" : 8" :: 709 : x , la valeur de x, ajoutée au log. sin. tabulaire, on trouve /ogfm 16” 32' 28" =9,4543924.

De même, supposons qu’on donne /ogiwa=9,0567650, et qu’on demande l’arc a.

On cherche dans la table le log. sin. le plus approchant en moins de celui qui est donné; c’est 9,0566218 qui répond à 6" 32' 30", et dont la différence avec le logarithme donné est 1432; la différence tabulaire est 1836 et correspond à 10"; on fera la proportion

1836 ; 1432 : 10"; ,r, d’où a; = 7",8 et «=6”32'37",8.

On voit donc que l’on regarde les différences des arcs comme étant proportionnelles à celles des logarithmes des lignes trigonométriques.

579 TRIGONOM^RIU.

Pour reconnaître Jusqu'à quel point cette proportion est exode, nous nous fonderons sur les résultats établis dans notre Algèbre, liv. 3 , p. 30-33. Nous remarquerons d’ailleurs que les tables de Gallet renferment une partie où les arcs croissent par unités do seconde ; cette partie ya de 0" à 5° pour les sinus et tangentes.

1" Soient n , n-l-d . n+2d n-l-md n-t-id des arcs en

progression arithmétique. La différence seconde des sinns est , pour les trois premiers,

tin (n+2d) — 2sin (n+d) + sin n.

Mais sin(n-t-2dj +sinn = 2sm;n-t-d).cosd (for. 5, p. 20, 1. I). Donc la différence seconde devient

— 2sf n (n- 4 -d) (1— cos d) ou -r-4tin’ ^ d.sin(*H-d).,. (p. 13)

La différence seconde est donc négative, de sorte que les différences premières décroissent : nommons s, s + d, . s-f-d,,

s-t-din s-l-di, les sinus respectifs de nos arcs . les

valeurs absolues des différences secondes, on aura , comme Alg., p. 31,1. 3,

dv = lid, — (fc— l)rt,— {*-2)«,- ... — 2

Comme pbacundes x,, etc, est moindre que 4sm’^ d, on trouve que la partie négative de ds est moindre , arithmétiquement , que il ) 1 fc’d’

4sin’- d I (fe --l)+(lî-2)...-l-3-f2-t-l | = 2*’$iV ^ d < -^ .

. Si Ad est l’arc de 1”, on a Ad < ; si kd est 10 ", on a

kd<

Puisque dj est en général moindre que Ad, on peut représenter le sinns (n-4-Ad) par i-t-fcd, — *, et sinus (n-t-md) par s-t-md, — ,« ; k>d’

^ et » étant >0, mais <— ^.

Représentons les tog sin par

i.i-t-A,, l-t-A,,... J-Him ,... f-l-Ak