LIVRE III

2° Si dans un produit AB l'un des facteurs A est invariable, et que l'autre soit variable, mais ail une limite finie M ; ce produit diffère infiniment peu de AUI ; de sorte que pour supprimer dans AB la partie infiniment petite , il suffit do snpprimer celle de B. En effet il résulte de la defloilion de la multiplication que si dans

un produit AM un facteur M augmente ou diminue de — , .

1 11 etc., ce produit augmente ou diminue de Ax — , Ax ,

A X M augmente on diminue infinement peu

pour devenir B, le produit qui sera devenu AB, aura aussi varié infiniment peu. Mais si AB diffère infiniment peu de AM, on pourra d'après le théorème remplacer AB par AM.

De là il suit que si chacun des facteurs A, B est variable, on peut les réduire tous les deux à leurs limites. Car soit M celle do B; AB diffère infiniment peu de AM; soit K la limite de A; AM diffère infiniment peu de KM; donc aussi AB diffère infiniment peu de KM.

11 en serait encore de même si AB était multiplié par un 3° facteur invariable ou non, de sorte que pour supprimer les infiniment petits dans un produit, il suffit de les supprimer dans les facteurs.

Bemarque 4. Il est clair que tout ce qn'on vient do dire s'applique aux proportions, puisqu'une proportion n’est autre chose qu'une égalilé entre le produit des extrêmes et celui des moyens.

Bemarque 5. Que l’on n’oublie que si de l'équation A-f-<« = B+3 ' on pent déduire- en toute rigueur A = B, c’est parce que A et B sont indépendants des infiniment petits. Du reste rien n’empécberail de supprimer les infiniment petits à fur et à mesure que l’on forme celte relation; pourvu que l’on n’omette aucun terme invariable, et que l’on supprime exactement tous les infiniment petits, le résultat est rigoureux.

DÉFiNiTioiY III. On entend par commune mesure de deux grandeurs de nténae espèce, une troisième grandeur de même espèce qui est contenue un nombre entier de fois dans chacune des deux premières, ce qu’on exprime

encore en disant que la commune mesure les divise toutes les deux.

Si une grandeur M est une commune mesure de deux grandeurs  et B, il est clair que toute partie aliquote de M est aussi une commune mesure de  et B.

Parmi toutes les communes mesures de deux grandeurs il y en a nécessairement une qui est plus grande que les autres.

Dépiiution IV. Deux grandeurs sont dites commensurables entre elles, lorsqu’elles ont une commune mesure ; dans le cas contraire, elles sont dites incommensurables entre elles.

* HROBLÉME.

Trouver la plus grande commune mesure de deux droites AB, CD, données de longueur, si toutefois elles ont une commune mesure.

Fig. 57. Si l’on porte la plus petite droite CD sur la plus.grandc AB autant de fois que faire se peut, il arrivera de deux choses l’une : ou elle y est contenue un nombre entier de fois , ou bien il y aura un reste moindre que CD. Dans le premier cas, CD serait la plus grande commune mesure et l’opération se trouverait terminée. Supposons donc que le second cas soit celui qui se présente ; admettons q\ie CD soit contenu 2 fois dans AB, et qu’il y ait un reste B'B, moindre que CD , on aura *

AB=z2xCD+BB',

et je dis que la plus grande commune mesure de AB et de CD sera la même que celle de CD et de BB'.

En effet, la plus grande commune mesure de AB et de CD, divisant exactement ces deux lignes, divisera la somme AB et l'une de ses parties 2xCD; elle divisera donc aussi l’autre BB'. Mais divisant CD et BB', elle est une commune