I.IVRK II
aiigle.sB, C, ce qui est iinposible, ou à déterniinei' l’un (les angles B, C én fonction d’un côté et de l’autre angle, ce qui n’a pas lieu, puisque la relation 90 " = B-|-C détermine l’un des angles lorsque l’autre est connu. Des dix relations il n’y en a donc que sept qui existent , et nous les avons dans les formules («)
THÉORÈME
Dans tout triangle les sinus des angles sont entre eux comme les côtés opposés.
Soit ABC le triangle : de l’un des sommets , A, menez Fig. 12. AD perpendiculaire sur le côté opposé BC. Si elle tombe dans le triangle; à. cause du triangle rectangle ABD, on aura (prop. 4 ), . ,
AD = AB . sin B = c sin B.
De même dans le triangle ADC
AD = kCsin C=bsinC; égalant ces deux valeurs, il vient
csinli = bsinL, d ou -i — - = , - , et de meme = — . • sin (. jm B sin A
Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle , le Fig. 13. triangle rectangle AGI) donne
AD ~ AC . sin ACD ;
mais l’angle ACD est le supplément de ACB ou C ; donc ii're ACD = sin C , et AD = b sinC; d’ailleurs AD = c«'mB, d’où encore , etc.
TniGOnOHtTRlE.
PKOPOSITION VI.
, THKORÈMe.
Dans tout triangle le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux antres , moins le double produit de ces derniers côtés, multiplié par le cosinus de l’angle compris, c’est-à-dire que
a’ = — 26c cos A .
l'ig. 12 . En effet, soit ABC le triangle; d’un sommet A menez AD perpendiculaire sur le côté opposé BC; si AD tombe dans le triangle, on a
a ou BC = BD-l-DC.
Mais les triangles rectangles donnent (p. 4 , c.)
BD=:ccoiB , DC = 6cofC, donc (t) « = c coi B-f-6 COJ C.
Fi|r. 13. Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle, on a
a = BD— DG.
Ici encore BD = cco«B, mais DC =6coj ACD; or, l’angle ACD, supplément de ACB ou C, donne cc^ACD — — cosC; donc DC= — bcosC , et l’on a encore a=c oiB+6 COJ C. Changeant 6 en a, B en A , et réciproquement, (I) donne
(2) b = ccos k-\-acosC.
Changeant iéi C enB, c en b, et réciproquement, on a
(3) c 6 cos A-l-a cos B.
Actuellement si, après avoir multiplié (1) par a, (2)
par b, (3) par c, on retranche de la première la somme des deus dernières, il vient
a’ — 6’ — c’rz — 26ccoj A, d’où (4) a’ = 6’-l-c’ — 26 ccojA.
Ce qu’il fallait prouver.
LITRE II
flemarqu». Celle formule (4), par de» permulalions de lollres, donne immédialement
(5) 6’ = a’-+-c’— 2accoj B, .
(6) c* = 6’-l-o’— 2a6coiC.
Ces Irois formulcg, fournissanl Irois relallons eiilre les sis élénicnls a, b, c, A , B, C, doivent à elles seules suffire pour résoudre lous les cas du triangle , puisque trois de ces éléments étant donnés, on aura trois équations pour trouver les trois autres. Ces formules doivent donc renfermer les relations démontrées prop. 5.
En effet (4) donne eosA = -rr ,
2vC
d'où
sm* A = 1 — cos’ A = 1 •
Le numérateur étant la différence de deux carrés, se décompose en facteurs : ainsi
Le premier facteur 2éc-l-i’-l-c’— a’ est égal à (6-t-c)’— a’,- le second à O’ — (6-cJ’/ chacun de ces fadeurs se décompose d'aprég le même principe, de sorte que
ifn’ A
(6-l-c-l-a) (bi-c—a) (o— iH-c) (n-f-6— o) 46’c’ '
Actuellement on reconnaît que le numérateur ne change pas si •’on change a en b et réciproquement, on a en e et réciproquement ; mais si l’on divise de part cl d’autre par o’, le dénominateur
devient aussi une fonction svmélrique de a, 6, c; donc— ^ et
• stn A
par suite — , est également une fonction s^’inétriqiie de a, b.
c. c est-à-dire que la valeur de — — ne change pas si l’on y change les a en b ou en c; donc.
sinA sinB smC
Bemarque 2. Les formules .4 , (5 , (6), ou bien (i), f2 , .dissent a. b, c indéterminés si l’on se donne les trois angles A , B, C
TRIGJMOMKTRIE.
il’un triangle. En effet , éliininona c entre (3) et (2), et pour cela multiplions '3) par coi A et ajoutons>le à ; il vient
6 = 6 coi’A-i-a Ccoï C-4-COS A COJ BJ ; transposant b eot' A , et rcmarqaaul qnc b—beof' A=b fl — eoi'A) = 6sfn’ A , on a
6>m’ A=o (cos C-hcos A cosBj.
Si de^mème entre (3) et d) on élimine e. on aura une relation qu'on peut déduire de la précédente en changeant les b en a et réciproquement , puisque (1) se déduit de (2) par ce changement qui n'altére pas (3j; donc
a lin» B = b (cos C-l-coi A cos B).
Ces deux équations déterminent toutes les deux le rapport - ; si
les deux valeurs de ^ sont égales, il y a accord et indétermination ; sinon , les trois équations (3^ sont impossibles quant
a la question actuelle. Egalons donc les râleurs do ^ ; il vient
COI C-l-coj A COJ B lin’ .A
lin» B COJ C-t- COJ A cot B ’
de là l'coj C-l-coj A cojB/^ = sin’ A Jtn’ B,
puis cojC-f-cojA COJ B = ±JinA jinB,
d’où cos C =; — cos A cos B-|-jin .4 jin B == — coj ( A-|-Bj,
ou bien cojC = — coj A cos B - jtnA sinB = - cos (A— B).
Le premier cas exige que l'angle C soit supplément de A-i-B; le second exige que C soit supplément de A— B; mais si A, B , C sont les trois angles d'un triangle , la première condition est remplie. Donc aussi a, b. c sont indéterminés. On a d’ailleurs trouvé a Jin’A , „
. = r — ; mais on a cosC=—cosA cos B-t-smA JinB :
b COJ L-l-coj A COJ B
a jin A
substituant , on retrouve la relation connue ■■ H : — - , ou
b jin B
sin A Ji’n B
