LIVRE U

nallre Tautre, il n’y a encore que deux cas, selon que le

côté donné est l’hypolhénuse ou noiju Cela fait les quatre cas traités.

PROBLÈME

Dans un triangle quelconque on connaît un côté a , et deux angles, trouver les autres éléments.

Quels que soient les angles donnés, on trouvera le troisième par la relation A-f-B-i-C = 180°.

Quant aux côtés b, c, on a (pr. Ô)

a b c sin A . sin B sin C ’

d’où ^ asinB ^ asinC

sin A. ’ sin A

Ces formules éunt homogènes par rapport aux lignes trigonométriques, le rayon y disparaît si on cherche à le rétablir. Elles donnent

log b = log a-\-log sin B — log sin A — logari-log sin B-f-comp. log sinA — tO, loge — log a-\-log sinC — log sin A = , etc. *

PROBLÈME

Connaissant deux côtés a, b, e/ l’angle A opposé d l’un d eux, trouver le côté c, et les deux autres angles.

On aura l’angle B par la formule

a : sin A : : ô : sin B , d’où sin B = - ^ ,

et log sin B = log b-^-log' sin A— log a.

L’angle C est égal à 180“— (A-f-B)

TRIGONOMÉTRIE

Quant au côté c , on sin A. : sinC:: a : c —

a sin C

sin A

ou logc = loga-\-logsinC — logsinh.

Comme l’angle B est donné par son sinus, le problème n’est possible qu’aulant que ce sinus n’est pas plus grand que le rayon. Il faut donc que

b sin A

I , d’où b sin A

Or, si U est ^ ^ aussi ^ b sin A , et le triangle

est possible, ce qu’on sait par la géométrie (Géom., I. 2). Fig. U. Mais si a il peut se faire que a soit aussi<[[ô«in A, et le triangle est impossible : si du sommet C on abaisse CD perpendiculairement sur AB, on trouve CD = AC. «’reA

=: b sin A : il faut donc que o ^ CD, c’est-à-dire que le

côté BC ne soit pas moindre que la perpendiculaire CD. Tous ces résultats sont connus.

A un sinus donné répondent toujours deux angles supplémentaires l’un de l’autre : ainsi l’angle B, s’il n’est pas droit , a deux valeurs , l’une 90“ , l’autre ^ 90“. Dans

le cas où a ^ ô, l’angle A doit aussi être ^ B; donc B

ne saurait être obtus , et c’est la première valeur qui convient. Mais si a<^b, l’angle B peut être obtus, et le triangle, supposé possible, admet deux solutions, excepté toujours le cas où B est droit.

Considérant le cas où le triangle admet deux solutions, nommons m l’une des valeurs de B, l’autre sera 180 — m; on a donc aussi deux valeurs pour C , savoir :