LIVRE II

On aura aussi deux valeurs pour e, savoir^

a«’n[180 — (A+m)] a jm (m-t-A)

sin A ■ asin(m — A)

sin A

a sin (m+A)

sin\

ou

sinX

La formule (4), pr. 6, peut aussi servir à calculer c; elle donne

(a) c' — 26ccofAH-3* — a’ = o,

d’où c — bcosX±y^ b'cos' X — i’-f-a’;

mais 6’ cos' X — b' — — b' (1 — cos' A) = — b' sin' X , donc c — beos X±y a' — b'sin'X.

Pour que ces valeurs de c soient réelles , il faut que a' ^b'sin'X, comme ci-dessus ; pour qu’elles fournissent deux solutions, il faut de plus qu’elles soient positives : l’équation (a) montre que la condition nécessaire et suffisante pour cela est b' — a'~^o, ou a <^b, ce qui est d’accord avec la discussion développée plus haut.

La valeur de c, qu’on vient de trouver, est peu commode pour le calcul logarithmique : en effet, pour la mettre en nombres, il faut chercher les logde a, b, sinX; doubler log a, et chercher le nombre correspondant , qui sera a'; ajouter log b et logsinX, doubler la somme, ce qui donne logb' sin' X , et chercher le nombre correspondant, qui sera b' sin' X ; retrancher b' sin' X de a', prendre le logarithme du reste, le sons-doubler à cause de la racine, chercher le nombre correspondant, et l’on aura la valeur du radical. Reste encore à prendre le logeosX, pour l’a. jouter à logb, chercher le nombre correspondant, qui est beos A. Dans tout cela il y a , de compte fait, 9 opérations

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TRIGONOMÉTRIE

logarilhmiques, cl 8 addilioiis, souslraclions, multiplica-

lions par 2 cl par - , si t’on compte les opérations indi-

quées par ±. On peut réduire le premier de ces deux systèmes d’opérations à 8, le second à 7, en décomposant a’ — é’fiVÂ en (a-j-Asm A) (a— 6 fin A). Mais au moyen d’un angle auxiliaire, et des transformations trigonomélriques , on peut d’abord réduire les deux termes «’ — A'f/n’A à un seul. On a

... f , b'sin'M a‘‘ — A’fin’A = a’i 1

Comme

b sin A

doit être 1 , on peut le considérer

comme le sinus d’un angle ç», qui sera donné par la relation

b sin A

ift) ^'” 9 =— —

et il vient

fl«6’jin’ A = a’ (1 —sin''(p) ~ a'cos^q>.

Donc c = bcosK±.acos

La relation (0) donne b= substituant dans

'' ' fin A

l’expression de c, on a

a sin (D cos k sin w cos h. ± cos œ sin

c = r—, ± cos tp = a c ; — r

fin A ' sin A

a sin {(p ± A)

fin A

Pourcalculcre par celte formule, il faut d’abord calculer (p, ce qui exige quatre opérations logarithmiques et une addition. Les deux valeurs de c exigent trois nouvelles opérations logarithmiques et trois additions ou soustrac-