LIVRE II

lions. liy a donc avantage. Du reste, la valeur de (p n’est autre que celle de B, les valeurs de c sont celles qu’on a trouvées ci-dessus (ni).

PROBLÈME

Dans un triangle on connaît deux côtés a, b, et l’angle compris C; trouver c, A, B.

On a, entre ces inconnues A et B , les relations AH-B-|-C =180 sinK : sin B : : a\b.

D’après la première on connaît A-+-B = 180-C.

Si l’on connaissait A — B, les angles A et B seraient faciles à trouver.

Posons donc A — B = x.

Delà A = 90-5 Ch-1æ:,B = 90-5C-5X.

Si dans sin A : sin B a : 3

on substitue les valeurs de A et B, on a l’équation à une inconnue

développant ( cos — C cos 5 x + sin — C sin x ^ ^ .6 =

I COJ - Kj cos —X — ■f'” 2 ^ 2 ^ ’

d’où

(a-j-b)sin - x.sin xC= cos - Ccoj- x.(a — A),

(1) puis /g - a; = ^~ . cot. - C.

SgO TRIGONOMÉTRIE.

Celte formule peut se trouver d’une autre manière. On a

f(RÂ :: a:b,

d’où sink-^sinB :sinS. — «nB :: a-\-b:a — b.

Mais la formule (10) pr. 20, I. 1, si l’on y remplace p par kelq par B , donne

jmA+«nB :sin A-««B ig \ (A+B) : tg 5 (A -B).

Ces deux dernières proportions ont un rapport commun : on en déduit donc

a-hb : a— b y. tg- (A+B) : tg - (A— B).

D’où ( 2 ) tg i (A-B) = ~tg\ (A+B).

Or, - (A — B) n’est autre chose que ^ x, et comme

A-+-B=180-C,on a| (Ah-B)= 90 - J C, et

tg ^ (A-+-B) = cot ^ C. La formule (2) est donc la même 2 2

, que ( 1 ).

Reste à trouver c, ce qui peut se faire par la formule

asinC . . ,

c = — T— T- ; mais comme elle exige trois nouveaux logastn\

rithmes, on en donnera une autre.

Des proportions sin A : sinTi :sinC:: a: b :c

on tire d’où

sinA-\-sin B : sin C : ; a-\-b : c , (a-f-i) sin C sin A-\- sinB