LIVRE. Itl

mesure à ces deux lignes, et ne saurait, par cojiséquent, surpasser leur plus grande commune mesure. D’un autre côté, la plus grande commune mesure de CD et BB', divisant CD, divisera aussi 2xCD; donc elle divise les deux parties 2xCD et BB'; par suite elle divisera leur somme AB. Ainsi la plus grande commune mesure de CD et BB' divise AB et CD , et ne saurait surpasser la plus grande commune mesure de ces lignes. Donc fa plus grande commune mesure de AB, CD, et celle de CD et BB' ne peuvent se surpasser l’une l’autre, et sont égales.

Maintenant portons BB' sur CD , et si BB' est contenu exactement dans CD, BB' sera la plus grande commune mesure. Sinon , il y aura un reste que l’on portera sur BB', et l’on continuera ainsi à comparer chaque reste avec le précédent, comme dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres. Deux cas sont possibles : ou bien on finira par trouver un reste qui sera contenu un nombre entier de fois dans le précédent, alors ce dernier reste sera la plus grande commune mesure ; ou bien l’on n’arrivera jamais à un reste qui soit contenu exactement et sans reste dans le précédent : dès lors les deux longueurs données n’ont pas de commune mesure et sont incommensurables entre elles.

Eemarque 1. Lorsqu’on a deux arcs de même rayon, on Fig. 08. peut porter le plus petit sur le plus grand au moyen de la corde du premier. On peut donc chercher, la commune mesure de deux arcs de même rayon. '

Enfin , comme on sait aussi faire un angle égal à un angle donné (I. 2, p. 17), et par conséquent porter un angle dans un autre , on saura aussi chercher la commune mesure de deux angles.

cioniTRiE.

TBEORèaiE.

Si deux droites À , B sont commensurables entre elles , il existe un nombre abstrait commensurable tel, que B, multiplié par ce nombre , reproduit A , et réciproquement.

En effet, supposons que la commune mesure des deux droites soit contenue 1 1 fois dans A et 5 fois dans B. Cette commune mesure sera le cinquième de B , et ce cinquième

pris 11 fois reproduira A. Donc les ^ de B font une

longueur égale à À, c’est-à-dire que Bx-^ est égal à A.

Réciproquement , si le produit de B , par un nombre

commensurable tel que ^ , est égal à A , c’est que A con-

tient exactement 11 fois le cinquième de B; donc le cinquième de B, c’est-à-dire une longueur contenue 5 fois dans B, est aussi contenue 11 fois dans A, et peut servir de commune mesure à A et à B.

Remarque. Ce qui vient d’étre dit s’applique aux angles, ainsi qu’aux arcs pris dans le même cercle ou dans des cercles égaux.

Définition y. Le nombre abstrait qui, multipliant une ligne B, en reproduit une autre A, s’appelle le rapport de

A à B. Si le rapport de A à B est ~ , on exprime cela en

écrivant

ou encore A : B : : 1 1 : 6.

Ce rapport, d’après la définition même, est le quotient de la division de A par B.