l-|-cofA
cos' ^ A— —
2Ac
4Ac
(A+c-f-a) (A-f-c— g) * p(p— a) 4Ac bc
LITRE II
Donc cos ^ A = l/' — — • ^ “ bc
. sin - A
De là Ig - A= ~
cos ~ A
Avec celte formule il y a à chercher les logarithmes de P> P — O,} P — b, P — c, à ajouter aux deux derniers les compléments arithmétiques des deux autres, pour doubler, prendre l’arc et le doubler : ainsi 5 opérations logarithmiques et 3 autres; il est vrai qu’il faut calculer 2p, p, P — û, P — b, P — c, ce qui fait encore ô additions ou soustractions. Pour avoir les deux autres angles, il n’y a plus
que les arcs à chercher : car tg’ ^ B, fg x C renferment les mêmes logarithmes que tg - A. Mais il y a encore 6
additions ou divisions par 2. Donc 7 opérations de logarithmes, et 14 additions, soustractions ou divisions par 2. Le calcul des angles par le moyen de cos A , coaB , cosC , exigeait 12 opérations de logarithmes et 13 autres.
La transformation de a-\-b-{-c en 2p simplifie aussi :
car pour ig - A, par exemple, il aurait fallu calculer
Or^b — c, a-\-c — b, 3-f-c — a , ce qui fait 4 additions et 3 soustractions, c’est-à-dire 7 opérations au lieu des 6 qu’on a indiquées plus haut.
On reconnaîtra semblablement que l’emploi de A est le plus avantageux après iong - A ; ensuite vient COJ - A , enfin cos A.
394 TRIGONOMÉTRIE
Pour appliquer les tables au calcul de tang ^ À , il r<>tablir le ravon . ce oui donne
faut
tang - A
d’où
iogtg 2 ^
= 10 + 1 [log (p-b) -\-log (p-e) —logp—log (p-fl)] = ^[log(p—l>)-[-log(j)—c)-+-l0—logp-{-\0-log{p—a)]
= 2 [log(p-b)+log(p-c)+comp. log p-{-comp. log(p~a)]
. Remarque 1. Toutes les formules qui viennent d’être trouvées deviennent impossibles si le triangle l’est , et réciproquement.
h"* I fl*
Prenons d’abord eosk~
Pour que l’angle A soit réel, il faut et il sufi&t que le cosinus soit compris entre +1 et — 1 , c’est-à-dire que
Wc
<1 et>-l.
Delà A’+c'— a’<2Ac et A’-4-c’— a’> — 2Ac.
Transposant
ô’+c'— 2Ac<a’ et A*+c'+2Ac>a’
I (6 — cy<^a’ et . (A-l-c)’ ^ a’.
La première de ces inégalités exige que le côté a soit ^ la valeur absolue de la différence des deux autres ; de sorte que si b n’est pas moindre que c, on doit avoir a'^b—c, d’où a+c^A.
LITRE II
La seconde exige que 3-f-c]^ a.
Ces condilions sont connues.
Réciproquement, si le triangle est impossible, l’arc A sera imaginaire.
En efiet , supposons b-\-c.
Delà {3+c)’<^a’
ou 3’-|-c’ — — 23c.
Donc
ou cos A sera — 1.
Donc cos A tombant entre — 1 et — oo , l’arc A sera imaginaire.
Si l’on suppose 3 ]]> a-|-c , on en tire (3 — c) ^ a
et cos A sera ^ 1.
On Toit que les côtés qui comprennent l’angle A ne jouent pas le même rôle que le côté opposé.
Discutons encore
Pour que l’arc - A soit réel , il faut et il suffit que la
tangente le soit : ainsi il faut et il suffit que — —
soit ^0, et comme p est positif, ceci exige que les binômes P — a, P — 3, P — c, soient positifs en nombre impair, et négatifs en nombre pair. Or il est impossible qu’il y en ait plus d’un qui soit négatif, quels que soient les côtés a, 3, c.
Car si l’on avait p — a<^0
avec p—b<^Q,
on en déduirait par addition
SgS THIGONOMÉTRIE.
2p — a — 0 , ou , vu que 2p = a+A+c,
c<^0, ce qui est absurde.
Ainsi il faut et il suffit que p — a, p—b,p — c , soient positifs tous les trois , c’est-à-dire que
ou '2p'^ia, 2p'^'2b, 2p^2c,
ou encore a-t-A-t-c^2a, a+6-i-c^2A, rt-|-A-+-c^2c,
ou enfin A-|-c^a, a+c^b , a+b'^c.
Conditions connues.
Si l’on avait, par exemple,
d’où 0]^A-t-c — a,
c’est-à-dire O'^p—a.
Comme les deux autres binômes p—b,p — c seront nécessairement positifs (puisqu’il est impossible qu’il ^ en
ait plus d’un qui soit négatif), tang ^ A serait imaginaire.
Remarque 2. On reconnaîtra , comme p. 1 1 , que les quatre propositions précédentes renferment tous les cas du triangle obliquangle.
Remarque 3. Les valeurs de A, cos ^ A donnent
.in A Ao». I A= ,
2 2 bc
ce qui rentre dans la form. (7), p. 6.
PROBLÈME
Trouver ^expression de la surface d‘un triangle en
