BD
sin fi
csinx a sin y
sin a sin ^
4o4 TRIGONUMÉTRII'.
Les équations (1) et (2) suffisent pour trouver x el^, en ayant, bien entendu, égard aux propriétés des lignes trigonométriques. Mais comme (1) donne la somme x-\-y , il sera bon de chercher à tirer x — y de (2). On mettra (2) sous la forme
s\n X a sin a
sin y c sIn (i
sin X -sin r a sin a— c sin (i
d où = — : •
sm x-\-siny a sin a-|-c sin p
Le premier membre est égal à
'ÉTo (^-r)
1 ^ 1 . . asina — csinS
Donc ig- (ss—y) — ISâ ■ — : ;
”2 ^ fl sin a-hc sin p
Pour mettre cette formule en logarithmes , on donne
, e sin [i
à la forme
a sin a -\-c sin fi ,
stn a
c sin fi — :
sin a
: on pose
c sin /5
sina
= c', et l’on a
Cette transformation épargne la recherche de deux logarithmes.
Ayant x et y, on peut calculer BD , AD , CD.
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LIVRK II.
4oo
mÉORÈME. ,
Dans tout triangle sphérique’, le cosinus d’un côté est égal au produit des cosinus des deux autres, plus le produit des sinus.de ces côtés multiplié par le cosinus de l’angle compris,
Soil ABC le triangle; supposon.vd’abord les côtés AB, fig. t9. ÂC, moindres qu’un quadrant; menons leurs tangentes AE, AD, tirons DE. Nommons encore a, ô, c les trois côtés du triangle sphérique. A, B, C les angles opposés.
Dans le triangle DAE on a (p. 6)
DE=ÂDh-ÂE-2AD.AE cojDAE ;
or l’angle DAE mesure l’angle A du triangle sphérique , et si l’on prend le rayon AO pour unité, on a
AD — tg b, AE ■=.tg c ;
donc DE = tg' b-^tg' c — ‘2tg b . tgc.cosh.
Le triangle DOE donne aussi
01;’= DÔVËO— 2DO . EO . cos . DOE — séc' b-^-séc' c — 2sécb .séce cosa.
Egalant ces deux valeurs de DE, remplaçant séc'b par \-^tg'b, séc'c par l-i-tg^c, on en tire
sécb.sécc cosa:=.l-{-tgb tgc.cosk.
m • .1 ô sin c , , l , 1
Mais tgb— -, tgcxz , secb— -,secc— ;
cos b cosc cos b cosc
substituant, on obtient cosa
cosb' sin b. sine, cos A
cosb . cos c ' cos b. cosc
d’oii cosa — cosbcose-\-sinbsinc,cos\. (I)
Fig. 20. En second lieu, supposons AC ou 6^90°, cl AB ou c<^90®. Projongez les arcs AC, RC jusqu’à ce qu’ils se renconlj-ent de nouveau en C'"; AC’, BC', que je nomme b', a' , sont les suppléments respectifs de b, a; l’angle CAB, que je nomme A', est le supplément de A. Puisque dans le triangle G'AB les côtés qui comprennent l’angle A sont tous les deux moindres que 90°, on a
cos a' =. cos b', cosc-^-sin b' sin c cos A'.
Remplaçant a' par 180 — a, b' par 180 — b. A' par 180 —A, changeant les signes , on a
cos a — cosb cos c-i-sin b sin c cos A .
C’est (I).
Si AB et AC, c’est-à-dire b cl c , sont tous les deux plus grands que 90°, on les prolonge jusqu’à leur seconde rencontre en A'; les arcs A'B = 6', A'C=c' seront moindres que 90°, et le triangle A'BC, où A'=A, BC=a donne
cos a — cos üL cos c'-\- sin b' sin c' cos A.
Comme ô'=180 — ô, c'=:180— c, celte formule se change encore en (1).
Reste le cas ou i et c seraient des quadrants , soit ensemble, soit séparément. Si ô est un quadrant, prenons au lieu de b un côté b-\-(i , /9 étant infiniment petit; dans le triangle le côté « aura changé infiniment peu, l’angle A et le côté c ne changeant pas. Supposons que a soit devenu a-\-a, on aura
cos (a+a) = cos (ô+/^) cos c+jm (ô+/5) sin c cos A ;
supprimant les infiniment petits, on retrouve (l)^ et, comme 6 = 90", la formule se réduit à
cos a — sin c cos k,
si c est aussi un quadrant,' la formule (l) devient cos à — cos k, ce qui est évident à priori.
