LIVRE

lleniarque. Changeant dans (1) a en 6, puis a en c, et réciproquement, on a

(1) cosa — cosb cosc-\-sinb sine cash.,

(2) cos b = cos a cos c-\-sin a sine cos B ,

(3) cosc = cos a cos b-^sina sinb cosC.

Ces trois relations entre les 6 éléments du triangle sphérique suffisent pour trouver trois quelconques de ces éléments, connaissant les 3 autres; elles sont donc pour la trigonométrie sphérique ce que les formules (4), (6), (6), pr. 6, sont pour la trigonométrie rectiligne. Il ne s’agit que d’en déduire des transformées commodes pour les différents cas. A cet effet il faut chercher des équations dont chacune renferme 4 des 6 éléments : le nombre de

Les combinaisons qui répondent à ces équations sont les suivantes :

I abc A , abc B , abc C.

ab BA , flc AC , bc BC.

ab\C, abBC, ac AB, acCB, bc AB, bc AC.

ABC a , ABC A, ABCc. . ■

Les équations relatives aux combinaisons de la première ligne sont trouvées : ce sont les formules (1), (2),

Celles qui se rapportent à la seconde, sc trouvent ainsi qu’il suit. De (1) on tire

ces équations est

cos a — cos b cosc

sin' b sin‘‘ c

TRiauNOHl': HIE.

[cos a — cos (6-}-c)] [coæ (b—c)— cos a]

sin^bsin^c

D’après la formule (8), pr. 20, I. 1, chaque fadeur du numéraleur se transforme en un produit; on trouve

4 sin-(a+b+c)sin-(a—b-^c) sin - (a+b—c)sin~(^b-^c a)

A Â It ét ^

sin’ b sin’ c

Divisant de part et d’autre par sin’ a, on trouve que

sinX r ■ , , 1

— est une fonction svmelrique de a, b, c; donc stna ./ -I

sin A sin B sin C

sin a sin b sin c

Ces relations, qui répondent aux combinaisons en question, montrent que :

Dans tout triangle sphérique les sinus des anf’les sont entre eux comme les sinus des côtés opposés.

Pour avoir une relation entre a, A, C, On éliminera centre les formules (1) et (3), et d’abord cosc, ce qui donne

cosa — sinb sine cos k-\-cosacos’ b~\~cosb sinasinb cosC;

transposant cos a cos’ b, on aura dans le premier membre cosa — cosa cos’b ou cosa sin’b; divisant par sinb, il vient

(ô) cos a sin b ~ sin c cos A-f-coi b sin a cosC.

. sin G sin a , .

Mais d aprèi(4), sin c ~ ^ ^ , substituant , on a

cos U sin b =. sin C sin a .

sin A cos A

sin K

cos b. sin a cosC.

Ici on divisera par sinn, et se rappelant la relation