VRK
vos a
— — = cot a , on a sina
(6) cot a sin b == sin C . col\-{-cosbcos C.
C’est la relation cherchée. La permutation de o et 6 donne
(7) cot b sina —sinQ- cotB-\-cos a co« C;
ici a en c (8) cotbsinc = sinkcotB-\-cosccosA,
6 en a (9) cota sine =sinB cot A-[-cosccosB, c en a(tO) cote sina — sinîicotC-\-cosc cofB, b en a (1 1) cote sinb —sin\ cosC-+-cosb cos A,
(6)-(ll) sont les six relations relatives à la troisième ligne de (n).
Pour avoir les trois autres relations restantes, on applique la formule (1) au triangle supplémentaire. Ainsi posant
A'= 180“-a , B'=:180‘>-6, C' = 180»-c, on a d’après (1)
cos a! = cos b' cos c'-\-sin b' sin c' cos A'. Remplaçant a', b', c'. A' par leurs valeurs, Il vient
( 1 2) cos A = — cos B cos C+s/n B sinC cos a ; permutant (13) coiB — cos A cos(l-\-sin A sinC cos b,
(14) cos C = — cos A cos B-f-j/n A sin B cos c.
Toutes ces formules s’appliquent aussi au triangle rectangle : supposons l’angle A droit, et introduisons cette hypothèse dans les formules qui renferment, A.
La formule (1) devient
( 1 ’) cos a — cos b cos c.
Donc : le cosinus de l’hypothènuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés.
TRIGUNOUÉTRIE.
4lO
De (4) ou déduit
(2') sin b =: sin a sin B , sin c — sina sinC,
ou , le sinus d’un côté de l’angle droit est égal au sinus de l’angle opposé , multiplié par le sinus de l’hypothénuse.
(6) donne cota sinb = cosb cosC;
d’où (3') tgb=.tgacosC et tgc=ztgacosB,
c’est-à-dire la tangente d’un côté de l’angle droit est égale à la tangente de l’hypothénuse , multipliée par le cosinus de l’angle compris entre ces côtés.
La formule (13).
(4') cos B = sin C cos b , et cos C = sin B cos c.
Le cosinus d’un angle oblique est égal au cosinus du côté opposé, multiplié par le sinus de l’autre angle • oblique.
La formule (8) donne
cotb sinc=.cot^,
ou (ô') tg bz=.sinc.tgR cl tg c = sin b tgC ,
c’est-à-dire la tangente d’un côté de l’angle droit est égale à la tangente de l’angle opposé, multipliée par le sinus de l’autre côté.
Enfin (12) donnera
cos B cos C =: sin B sin C cos a , d’où (6') cosa—cot'&.cotCi,
ce qui prouve que le cosinus de l’hypothénuse est égal au produit des cotangentes des angles obliques.
Pour résoudre commodément le triangle sphérique rectangle, il est bon d’avoir des relations entre les 6 éléments a. A, c. B, C, pris 3 à 3. Le nombre de ces relations est 10, et les combinaisons, auxquelles elles répondent, sont
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