LIVRE III

Remarque 1. Dans la proposition 3 et la définition 5 II n’a été question que de grandeurs qui ont une commune mesure. Or, si deux droites A, B sont incommensurables, il est facile d’assigner une ligne A' commensurable avec B et différant infiniment peu de A. Pour cela, on divisera B en 2, 4, 8, etc., parties égales; on pourra ainsi, par des bissections successives, diviser Ben parties égales infiniment petites. On portera une de ses parties sur A ; elle y sera contenue un certain nombre de fois plus nn excédant moindre que cette partie; si l’on fait abstraction de cet excédant, qui est infiniment petit , ce qui restera pourra être pris pour A'. Le rapport de A' à B sera nn nombre commensurable; comme le produit do B par ce nombre donne A', il suffira d’augmenter infiniment peu ce nombre pour que le produit donne A. Ainsi le rapport de A à B peut encore être défini comme dans le cas où A et B ont une commune mesure ; mais lorsque cette commune mesure n’existe pas, le rapport est lui-même un nombre incommensurable, dont on peut trouver la valeur avec tel degré d’approximation

qu’on veut. Car si on vent l’avoir à moins de

par exemple ,

on pourra diviser, comme on vient de l’indiquer, B en 2, 4, 8, etc., 1024 parties égales; si une de ces dernières parties est contenue

au plus 3175 fois dans A, la valeur approchée du rapport — est

Même raisonnement par rapport aux angles et aux arcs de

même rajon.

Remarqué 2. Si Ton a 3 Ugaos À, B, G » qa*on sache qoe —

et - = - , on peut conclure que — c est-a-dire qne le

rapport de deux lignes A , B est égal an quotient des rapports.de

ces lignes avec une même troisième C.

TBÉORÈHE.

Sofsni deux grandeurs A, R de même espèce , et deux longueurs a , b telles que li a ou b varia d'une manière continue (c'est-à-dire par degrés infiniment petits), il en soit de même de A oudeB; soient de

GÉOMÉTRIl:.

plus deux quantités c . d , 9111 ne changent pas lorsqu’on fait varier n ou b-; si toutes les fois que a s( b sont eommensurables entre eux ott a la porportion A ; B : ; ca ; db , je dis que celte proportion aura encore lieu si a et b ne sont pas eommensurables entre eux.

En effet, supposons que a et b ne soient pas eommensurables entre eux; faisons varier a inflniment peu, de façon qu’il se change en a' et devienne commensurable avec b; A variera infiniment peu et se changera en une quantité A'; on aura donc , vu que a' et b sont eommensurables ,

A' : B : : eo'^: db

et , négligeant les inflniment petits ( p. 1 , r. 3 ; ,

A : B : : eu : dé.

THÉORÈME

Fig. 59. Deux angles BAC, DEF sont dans le même rapport que les arcs BC, DF, interceptés entre leurs côtés, et décrits de leurs sommets comme centres avec des rayons égaux.

Supposons que la commune mesure des arcs BC, DF soit contenue, par exemple, 5 fois dans BC, el3 fois dans DF; portons-la sur ces arcs, et soient à, b, c, d, e,f\e& points de division. En joignant ces points aux centres respectifs, on obtient des angles BAa, etc., tous égaux comme interceptant des arcs égaux dans des cercles égaux ( I. 2 , p. 4). L’angle BAC en contient S , tandis que DEF en ren-

mais celui des arcs BC, DF est aussi -• Ces deux rapports

sont donc égaux et donnent la proportion BAC : DEF ; : BC : DF.

I Comme l'angle varie par degrés infiuimeot petits lorsque l'arc

i Voir uac note à la lin de l’omra^c.

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