LIVRE II
Calcul de a.
On a pour rosa deux limites, qui sont
^cosbcosÇc — (p") ^ cosbtosU — q/')
cosa cos a ^ ^
cos (p" cos (fl
los,cosb= 9,6712.327 lof;cosb= 9,6712027
l.COs(c — l. COs{C-(p)= J
c.l.cosf= 0,0072787 c.l.cos(p= 0,0072786
L’erreur sur logeosb est 5 : 10'"; sur lopcos(c — ç>")
elle est 1 : 10?, parce que e - : lO? ; de même
sur c.logcos(p". Ainsi sur le premier résultat la limite de l’erreur est 25 : 10"; de même sur le second.
Donc /og cos a 9,65261006 et ^9,65260915.
Les tables donnent 63" 17' 50", et les fractions
Comme le complément de l’arc tombe entre 20° 40' et 27°, le tableau (5) montre que si l’on calcule ces fractions à moins de 0",001, on aura les arcs à moins de 0",014. .
Ces fractions donnent
Ajoutant au premier 0",014 qu’on ôtera du second, on a 3'',224 2,982.
Ces nombres retranchés de l’arc trouvé qui a été fourni par son cosinus, il vient
454 TRIGONOMÉTRIE
La tliflerence de ces valeurs n’est que de 0",242.
Cet arc réduit en mètres à raison de dix millions pour
le quart du méridien donne à peu près 7025624"'+ ,
résultat qui suppose la terre sphérique.
l'IN l>K I.A Tllir.ONOMHTttir.
?un{i.
CONSIÜÉKATIOKS
SI K LA THLitUlK DES SKI NES
J'ai donne dans mon Algèbre les premiers principes de la lliéoi io des signes ; j’y ai prouvé que si l’on assujellit les symboles négatifs à un certain système de règles (pages 23 et 153j, les résnltals que l'on trouvera seront exacts et rigoureux, soit absolument parlant, soit relativement aux convenlious en vertu desquelles les symboles négatifs sont introduits dans le calcul. Que si l’on emploie les signes pour exprimer quelque relation particulière, comme dans l’application du calcul à la géométrie, il faut de nouvelles explications; aussi trouvera-t-on dans la Trigonométrie (p. 327 j les raisonnements nécessaires pour légitiruer l’emploi des symboles négatifs; reste la Géométrie analytique, et c’est à cette dernière partie de la science que sont consacrées les pages qui suivent.
Je commence par y établir de la manière la plus générale les formules de la transformation des coordonnées ; après cela Je montre que la convention en vertu do laquelle on représente l’opposition de direction par celle des signes , conduit toujours à des résultats vrais. Je termine par les coordonnées polaires, au sujet desquelles j’ai été conduit à des idées que quelques lecteurs auront peut-être de la peine à admettre; si l’on m’en prouve la fausseté, je reconnaîtrai que j’ai tort.
.§1. Coordonnées rectilignes.
On démontre dans les traités de géométrie analytique que moyennant les conventions faites sur la manière de représenter, et de distinguer les uns des autres, les points du plan, l’équation y = ax-i-b a pour lieu géométrique nue droite indéfliiie, quelles
NOTE
que suient les parties du pUu sur lesquelles elle s'élendc. Voilà Fig. 1. un premier rcsullal : il nous servira à élablir en toute généralité les formules de la transformation des coordonnées.
Eu nommant a, b, les coordonnés do O' r.ipporté .tux axes Oor, Oy, on sait que pour un point B, on a ' (1) y = b+y' , x=a-i-x‘.
formules qui servent à passer d'un système Ox^ Oy à un autre système d’axes respectivement parallèles aux premiers. Nous allons prouver que ces formules sont générales, et d’abord relativement à la position dn point O'. Faisons mouvoir le point O' sur Ay' ; tant qu’il sera entre A et F, on aura entre BD, BC et CD, la relation
BD = CD-i-BC ou y=b-hy'.
Si O' vient on O" , on a BD = C'D— BC' . . . ; or ici BC — ÿ' d’où y — b-i-y .
Dans le cas où O' se confoudrait avec A , on aurait b = o; donc encore ÿ = b-H/'.
Enfin si O' vient en O'", on a BD = BC" — C"D; mais ici C"D=— ft donc y = b+y ,
Dans toutes ces hypothèses, x, a , x' . n’ont pas changé. Donc les formules (1) sont vraies quelle que soit la position du point O' sur la ligne 0’y‘. On peut donc admettre que O'x' est une parallèle quelconque menée à la ligne Ox. Or on prouvera encore que le point O' peut occuper sur cette droite O'x' une position quelconque; donc ce point O' pouvant occuper une position quelconque sur une droite quelconque parallèle à Ox, est un point quelconque du plan.
Les formules (1) sont donc prouvées pour toutes les positions du point O'. Afin de les prouver pour toutes les positions de B, Fig. 2. supposons (fig. le point O placé d’une manière quelconque, et admettons qu’au point B ou ait démontré queÿ=lH-!/' , x = a+x'. Par ce point B menons une droite quelconque indéfinie BE ; les formules (1) sont vraies pour tous les points de la partie CD de celte droite; soit i/ = fcx-M l’éfluation de cette droite rapportée à Ox, Oy; il s’ensuit que la partie CD, rapportée à Ox', Oy‘, aura pour équation
Mais pour toute autre partie du plan , il est évident que parmi
NOTK.
les quanlilés y, 1/ , b, il y en a toujours une dont le module est égal à la somme des modules des deux autres ; de même pour x,x . a. On peut donc écrire en général y = my'-t-n6 , a: = m y' + n'o, les quatre indéterminées m, n, m'. n' étant égales soit à+1 , soit à— 1. Ainsi les diverses parties de notre droite , autres que CD, auront des équations de la forme
(3) mij -^-nb = k (m'x' -hn'a) -i-t.
D'un autre côté, il est prouvéque toute la droite est déterminée par une seule et même équation , donc les équations (2) cl (3) doiveut être identiques; mettant (3j sous la forme
— aItH — b.
m mm
et comparant avec (i), un n »
m n l nb , ,
k= - k , — ak-i =l-t-ak-6.
m m mm
d’où
Ensuite comme k et I doivent rester arbitraires , on aura
d'où tn=l, n = l, wi ' = 1, n — 1.
Donc en tous les points du plan on a les formules (Ij.
Considérons le cas général où l'on change A la fois l'origine et la direction des axes; cette transformation peut se décomposer en un simple changement de direction , suivi d’un simple changement d’origine ; comme ce dernier a été traite complètement, on ne s'occupera que do premier.
Soit r l'angle des anciens demi-axes positifs; » l'angle x'x , u. pj,r. 3, l’angle yfx. Voici comment nous définirons ces deux angles; on supposera que la ligne Oa; tourne autour du point O, en tendant à décrire immédiatement l'angle yOx; lorsque celle droite mobile sera confondue avec Oa; , elle aura décrit un angle <ou> 180° ; que nous nommons u; de même par rapport à x'.
Cela posé on démontre sur la figure 3 que
^ y sin» -t- X sinx x — ysin{r — *')+x'sin(^r — a)
tin T ’ sm T
TRIGONOHÉTHIK.
Dans ces formules l'angle a' peul être plus petit que l'angle x, quoique la ügurc suppose le contraire. Pour s’assurer de celte extension de nos formules , il sufOt de remarquer qu’elles ne changent pas si l’on remplace y' par x , x par ee.et réciproquement.
La figure suppose les angles a et moindres que 180’ et même moindres que t. Nous allons successivement écarter ces restrictions.
Fig. 4. Supposons a = a5 0j!'<T, et *' = ÿ’Oa!> t, mais <180'; soit pris uu point B, sur lequel on fera la construction ordinaire, il viendra
ÿ = BF-(-ED æ = OE - FI)
Le triangle ODE donne
