BF
y sin BDF sin T
y sin x' sin T
Car BDF =180 — T.
y sin DBF y sin(^x ‘ — t) y'sin[r — « )
sin T sin T sinr
vu que DBF = ÿOÿ' = «'— r.
Au moyen de ces valeurs, y et aj prennent les valeurs (4).
Fig. 5. D’après la remarque faite ci-dessus , elles soat encore exactes si « <T et «> T mais <180°.
Supposons en second lieu x > t el x > t . mais tous les deux <180', nommons «’-'i, T,, les suppléments de nos angles, de sorte que
ce, -H a = 180", « , -t- «' = 180», T -I- T, = 180”.
Admettons que l'on veuille transformer les y et les (—x) en )' cl X' . on aura, en vertu des formules 4, et vu que .« <ti, <r, ,
y 5in <»' I + X »«n xi
y sinjri - a ij-t-x 5m(Ti - «i)
Or ït'n«, , = sina, Jin = jina',, iinr, =sin t :
5in (j-,— a, j = »in(T— a ) . sin (t, — ~ sin (t—x)
La substitution de ces valeurs dans (5) reproduit (4). Fig. 6.
Considérons (f. 5) le cas où l’angle »' est > 180° et l'angle >
<180. Prolongeons Oy' vers — y', nommons x', l'angle —y' Ox, et transformons les y, x, en ( — y‘) et x . Les formules (4) sont applicables et donnent
— y ji'n *r-t-x'tiFi « — y'jin(T— «i‘)-|-x'jmfT— «)
jin r sm T
mais — 180° ; d’où
sin * 1 = — lin «' , lin (t - x' ,) = — lin (t — x )
et les formnles (6) se changent en (4).
Reste enfin (f. 7) le cas où x et x' sont tous les deux plus grands Fig. 7. que 180°. Ici on transformera y et x en f — y'), (—x‘); posant x'i = *'— 180, xi = a — 180° , on aura
, —y lina, '—x'imx,
" tirir
— y'iin(r— «/)— x'itnCr — x,
Oriinx,' = — lin x' , iinx,=; — iinx sin T — x,') = — lin r— X') , iin(r — x, )= — itn(T— a}, et f7) reproduisent (4).
Yoilà les formules (4^ démontrées en toute généralité, quant aux angles; reste i les vérifier quant à la position do point sur lequel on raisonnne. A cet effet (f. 2) , on mène par le point B une droite quelconque CD; pour toute la partie CD les formules (4) sont prouvées; écrivons-les sous la forme
y = oÿ'-(-6x ,x = cy-t-dx'.
Dans toute autre partie du plan, les y et x se décomposeront en parties proportionnelles à y' et x ; car il y aura partout des triangles analogues à ceux qui ont servi au calcul de y et de x. Ainsi on peut poser
" y = my-t-nx , x = py-t-yx .
Prenons encore l'équation de la droilc CD y z= kx+l ;
l^^^0 NOTE,
pour la partie CD, on aurait
ay'+bx'-= kcy'+kdx -i-l et pour une autre partie
my'-^-nx = kpy +kqx-i-l; m, n, p. q étant inconnues.
Mais ces deux équations doivent être identiques, et comuie le terme indépendant des variables est commun , il faudra que l'on ait
a—kc—m—kp b—kd=n — kq.
k est quelcouque ; donc
Fig. 8.
Donc enfin rien ne limite la généralité des formules (4).
Je passe à la théorie des signes. Ainsi que je l’ai rappelé, on prouve que l’équation y = ax-i-b représente toute la droite; de plus, au moyen des conventions relatives aux signes et des règles auxquelles ces signes sont soumis en algèbre, les formules (A) conviennent à tous les points du plan. Or , c'est là le biit qu’on se propose dans l’emploi des signes, c’est-à-dire qu’on a pour objet de renfermer tontes les parties du plan dans un seul et même système de formules. Ce but est rempli, comme nous allons le prouver en général.
A cet effet , je distingue deux cas : ou l’on donne une équation F (x, y) = 0 dont il s’agit de construire le lieu , ou bien on définit un lieu dont il faut trouver l’équation.
Dans le premier cas, supposons le lieu trouvé: il est prouvé par ce qui précède que ce lieu se retrouvera de la même manière , quel qne soit le système d’axes auquel on le rapporte par la transformation de coordonnées. Donc , etc.
Dans le second cas supposons qu’on définisse un lieu ; que pour en trouver l’équation , on ail adopté les axes Oy et Ox, et qu’on ail raisonné sur le point M ; soit F (x, y)=0 l’équation trouvée; supposons qu’en la construisant, on trouve la courbe MKM'; je dis que le point M' satisfait par rapport aux données de la question aux mêmes relations de position que le point M ( sauf le cas où l'énoncé môme de la question exigerait qne les points de ce lieu soient renfermés dans un espace limité ABCD , et dans ce cas les points de l’arc compris dans yOa; ne satisferaient pas non pins tous à la définition).
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NOTE
En efTcl, soient menés les axes O'x',0 t/‘ respectivement parallèles à Ox, Oy, de façon que l’angle y 0‘x comprenne le point M ; soit O'I — a, 01 = é; on a en général
x' = a+x, y' — b-hy.
Si en raisonnant sur le point M on avait pris pour axes les lignes O y', 0‘x‘, pu lieu de l'équation F(x,y) =: 0 . on aurait évidemment trouvé F (3:' — a, y' —6) = 0, et tous les points de l’intérieur de l’angle y'Ox', qui satisfont à cette équation, feraient partie du lien géométrique défini. Or, je dis que le point M' y satisfait ; car si en M ou a X = —k, y — — I, do sorte que F ( — k.—l) = 0, on a aussi x‘ = a — k , y‘ — b — i, valeurs positives qui substituées dans O, y —6j = 0 donnent l’identité F( — k, —l) = 0. Donc le point M' est un de ceux qui satisfont à la déflnition donnée.
Il est donc prouvé que lés conventions relatives aux signes ne peuvent conduire qu’à des résultats vrais, soit absolument, soit relativement à ces conventions mêmes, et dans ces conventions sont comprises les règles des signes , ce que l’on remarquera de la manière la plus saillante surtout dans la dernière partie du raisonnement , car nous avons substitué d’un côté x= —k, y = — { dans F(x,y)=:0, de l’antre a—k, 6 - 1 quantités positives dans F(x — a. y — bj = 0;ces deux substitutions conduisent, dans tous les cas, aux mêmes résultats , si l’on admet les règles des signes par rapport aux monomes négatifs isolés. Du reste ces règles sont déjà nécessaires dans la discussion de l’équation y =3 ax-hb . fondement de toute notre théorie des signes ; elles le sont encore dans les formules de transformation.
§ 2. Les coordonnées polaires.
Supposons le pôle à l’origine des x et y; soit * l’angle que la pjg, 9. ligne fixe OF fait avec l'axe Ox, v l’angle variable AOF, f le rayon vecteur OA. On a ■
«lin ( r ■ U — a)
jtn T
y gsm (^--1-,») sin T
Pour établir la généralilé de ces formules , je considère d’abord Fig. fO. le cas où l'angle a est nul; les formules sont alors
NOTE
;»’nu »in r
Prenons acluellemenl le point A' , on a « = A'OA ; posons «■ = ' ( -x) OA' ; si en ce point on veut transformer les {—x) et y en ç et w , on aura (en posant (-x) Oy=r,)
jsfr»(Ti — »>i) (tin «'
~ * jifiT, ’ ^ “ Jin T-
mais sinTi=sinT, sin , = sin 0 / , tin(r,— »i) = — sinfr — wj
Pig. 11.
et l'on retrouve les formules (2).
On raisonne semblablement pour A ' et A'".
Soit maintenant Ox' la ligne Use, posons T = yOx et r =yOx‘. Pour transformer y' et x' en ç et ai , nous avons en toute généralité
Uin(T‘ -u ) , (iin«
sin r ' ’ ^ jin T '
Mais d'un autre côté, pour transformer les x', y' en y el x. il faut reprendre les formules (4) S 1, y faire *'=t, t'=i— a, ce qui donne
x'sm T
x'sin a sin T
cl par substitution
fJin (t — « — «) ^ sin T
çsinai (sinxsin(T ‘ — sin T sin T sinr'
f sin ai sin r-*- sin «sin (t' — «)
— ’ et comme t=t -t-x
sin T sinr'
sinuisinT'eosu-+-sinu>cos T'sinix+sinasinr'cosuj — sin«cosT'sin 10
^ * sin T sin t'
Çsin((.--l-«)
sin T
Voil.à donc les formules (1) généralisées complètement. Uicn n’eropôche de changer aussi d’origine.
iVOTE. 445
Les coordonnées polaires présentent par rapport aux coordonnées rectilignes des difTérences remarquables.
D'abord nons supposerons que l'on admette des angles et des rayons vecteurs positifs et négatifs. Qnant aux angles soit OR f >g. 12. la ligne fixe, O le pôle; on peut dans le plan donné faire mouvoir la droite OR autour du point O , dans denx sens , et faire décrire à son point A , soit l'arc AB, soit l'arc AC. Nous regarderons comme positif l'on de ces arcs ou l'angle qu'il mesure , et nous ferons entrer l’autre dans le calcul avec le signe — . De plus , nous admettrons que l’angle ou l'arc varie do 0 à - 4 - as et de 0 à — X .
Peur le rayon vecteur, soit AB la valeur de l'arc : la direction qu'il détermine est DD'; si sur cette direction on considère le point D, on dira qu'en D, on a
Ç =-t-OD , bj — Xh ou ui=r AOB.
tandis qu'en D' , on aura
