LIVRE

varie de celle inanièrc , il a'eosuU (p. 4) que celle porporlion sub.» sUlo encore si les arcs u'onl pas do comniunc mesure.

Remarque 1. Rien n’empêche de supposer que l’un des arcs est une circonCércnce entière , et que l’angle correspondant est, par conséquent, égal à 4 angles droits.

Remarque 2. La propriété démontrée dans cette propositioil s’exprime aussi par l’énoncé suivant : L’angle au centre a pour mesure l’arc compris entre ses côtés, et décrit de son sommet comme centre avec un rayon arbitraire.

On attache à cet énoncé le même sens qu’à celui de la Prop. 6.

L’angle droit intercepte le quart de la circonférence décrit de son sommet comme centre, ainsi qu’on l’a vu dans le courant de la Prop. 22 , I. 2 , fig. 61. Si donc on veut rapporter les angles à l’angle.droit comme unité, il suffira de rapporter les arcs au quart de circonférence.

Dans un grand nombre d’applications, on prend pour

unité de la circonférence que l’on appelle degré, de

sorte que la circonférence est supposée partagée en 360 parties égales; on subdivise le degré en 60 parties égales nommées minutes , la minute en 60 parties égales, nommées secondes , etc. Cette division .est appelée division sexagésimale. L’angle droit a donc dans ce cas pour mesure un arc de 90 degrés. Les dégrés, minutes, secondes s’indiquent par les signes ®, ', ".

Remarque 3. 1® Puisque , d’après la Prop. 22 , I. 2 , l’angle inscrit est égal à l’angle au centre qui intercepte la moitié du même arc, on peut dire que l’angle inscrit a pour mesure la moitié de l’arc compris entre ses côtés. Il en est de même de l’angle formé par une tangente et une corde.

2° Tout angle inscrit dans un segment ABC plus grand Fig. 5‘i. qu’un demi-cercle , aura pour mesure la moitié d’un arc

g^.om(:trie.

ADC, moindre que 180°, c’est-à-dire que sa mesure sei\i plus petite que 90% cl l’angle sera aigu. Âu contraire, tout angle inscrit dans un segment ADC, plus petit qu’un deipicerclc , sera obtus.

3° Dans le quadrilatère A6GD, qui a ses quatre sommets sur la circonférence, les deux angles opposés B et D ont en somme pour mesure la moitié de la somme ^es arcs ÂDC, ABC, c’est-à-dire la moitié de la circonférence ou 180”. Ils valent donc ensemble deux angles droits. Il en est de même de la somme des angles BAD, BCD.

Fig. 78. 4* L'angle AOC qui a'son sommet entre le centre et la circonfé-

rence , a pour mesure la demi-somme des arcs AC , BD interceptés par cet angle et son opposé au sommet. Car si l'on lire CB , l'angle AOC , extérieur au triangle COB, est égal à ta Somme des angles intérieurs C et B (1. 1 , p. 20, r.); mais ces deux angles sont inscrits et ont pour mesure, l'un ta moitié de DB, l'autre celle de AC.

Donc l'angle AOC a pour mesure ~ AC -I- ^ DB.

Fig. 79. 5. L'angle O qui a son sommet hors du cercle et qui est formé

par deux sécantes , a pour mesure la demi-différence des arcs BD , AC , qu'il intercepte. En effet, menons la corde BC ; l'angle BCD , extérieur au triangle BCO, est égal à la somme des angles B et O; donc l'angle O est la différence des angles BCO, et B; mais ces deux angles sont inscrits et ont pour mesure, le premier, la moitié de l'arc BD, le second, la moitié do AC; donc l'angle O a pour mesure la moitié de BD moins la moitié de AC.

THÉORÈUE.

Fig. 60 . Si sur un côté d'un angle on^prend les parties AI , IK , KL , etc., de grandeur quelconque, mais égales entre elles ; que par les points I , K , L , etc. , on mène les droites parallèles lE, KF, LG , etc. , jusqu’à la rencontre de l’autre côté, elles détermineront sur ce côté des distances AE, EF, FG , etc. , égales entre elles.