LIVRE III

Du point I menez la droite 10 parallèle à EF jusqu’à la rencontre de K.F en 0 ; dans les deux triangles AIE , RIO on aura les angles lÀE, RIO égaux comme correspondants p.ar rapport aux parallèles ÂE, 10, coupées par RA; les angles AIE, IKO sont égaux par une raison semblable par rapport aux parallèles lE, KF, coupées par la même sécante; d’ailleurs le côté AI = 1R par hypothèse; donc ces, deux triangles ont un côté égal adjacent à des angles égaux et sont égaux. On en conclut que le côté AE = IO ; mais 10, EF sont égaux comme parallèles entre parallèles (I. 1 , p. 19) ; donc aussi AE = EF; on démontre de môme que EF=FG = etc.

TaÉORÈUE.

Pour qu’une droite DE soit parallèle à un côté BC d’un Fig. 61. triangle ABC, il faut et il suffit qu’elle divise les deux autres côtés AB , AC proportionnellement.

1° Supposons la droite DE parallèle à BC , je dis qu’on aura AD : DB : : AE : EC. Car si les droites AD et DB sont commensurablcs , supposons que AD : DB ; : 4 : 3 , c’est-àdire que la commune mesure de ces lignes soit contenue 4 fois dans AD et 3 fois dans DB. Portons cette commune mesure sur AD, DB; soient a, b , c , d , e les points de division ; par ces points menons des parallèles à BC ; ces droites af, bg..„ DE, etc., étant toutes parallèles, et les distances ka,ab, etc., étant égales, les distances bf.fg-, etc. , seront aussi égales (p. 6) ; mais AE en contiendra 4 , parce que AD en contient 4, etEC en comprendra 3, parce que DB en comprend 3. Donc AE : EC : : 4 : 3 ; d’ailleurs AD : DB : : 4 ; 3 ; ■ donc enfin AD : DB : : AE : EC. De là aussi , componendo AD+DB : DB : : AE-f-EC : EC ou AB :

DB : : AC ; EC, On trouve de même AB : AD : : AC : AE.

r.kOMiVrniL.

Si AD et DB no sont pas commensurablcs, comme EC varie d’une manière continue avec DB, on aura en^rc la même propriété (p. 4),

• 2“ Si l’on mène une droite DE' non parallèle à BC , elle ne coupera pas les côtés ÂB, AC proportionnellement. Car menez DE parallèle à BC; on aura, comme on vient de le prouver, AD : DB : : AE : EC. Or, AE' est ^ AE , et E'C<^EC; donc le rapport AE' : E'C est plus grand que AE : EC, et par suite aussi plus grand que le rapport AD : DB. Ainsi la droite DE' ne coupe pas les côtes AB, AC en parties proportionnelles. On prouverait de môme qu’aucune droite menée par le point D, si elle n’est parallèle à BC, ne coupe AB et AC proportionnellement. Donc, toute droite qui coupe deux côtés d’un triangle en parties proportionnelles , est parallèle au troisième côté.

Fig. 62. Corollaire, Des droites parallèles AA', BB', etc. , déterminent sur deux droites quelconques AD , A'D' qu’elles rencontrent , des segments proportionnels. Car prolongez AD, A'D' jusqu’à leur rencontre en un point O; la droite AA', parallèle au côté BB' du triangle OBB', donne OB : OB':: AB: A'B'.

De môme , dans le triangle OCC', on a OB: OB' ::BC;B'C’.

De ces deux proportions on déduit, à cause du rapport commun ,