AG:EG:: AB:FB
Or EG est, par construction , le cinquième de AG; donc FB est aussi le cinquième de AB, et en portant FB encore 4 fois sur FA, on divisera AB en 5 parties égales.
2° S’il faut diviser une droite AB en parties proportion- Fig. 6t. iielles à des longueurs données a,b , c , on tire du point A, sous un angle arbitraire , une droite indéfinie AC sur laquelle on prend AD = a, DEz=ô, EF = c; on joint le point F au point B, et des points E, D on mène les parallèles à FB jusqu’à la rencontre de AB; les points de rencontre H, G diviseront la droite AB de la manière demandée. Car à cause des parallèles GD, HE, BF on a (p. 7, c.)
AG : AD : : GH : DE ; : HB : EF , ou , puisqu’on a pris AD — a, DE=ô et EF = c,
AG:a::GH:ô::HB:c.
Donc la droite AB est divisée en G et H de la manière demandée.
Remarque. Cette dernière construction peut aussi servir à diviser la droite AB en parties égales. Pour cela on
Co
GÉOX^niE.
prend les distances AD, DE, etc., égales entre elles et en même nombre que les divisions qu’on veut avoir sur AB; puis on achève de la même manière.
PROBLÈME
Fig. 65. Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données a, b, c.
Soit fait un angle quelconque A, et soit pris AB = a, BC = 6, AD = c. Si l’on tire BD et que du point C bn mène GE parallèle à BD jusqu’à la rencontre de AD prolongé, en E, la ligne DE sera la quatrième proportionnelle demandée.
Car la droite BD , parallèle à un côté GE du triangle AGE, divise les deux autres côtés proportionnellement (p. 7). On a donc
AB : BC ; : AD ; DE ou a : & : : c : DE ;
donc DE est la ligne cherchée.
THÉORÈME
Fig. 66. La bissectrice AD d’un angle BAC d’un triangle, divise le côté opposé CB en deux segments CD, DB proportionnels aux côtés adjacents , de sorte que CD : DB : : AC : AB , et réciproquement.
1° Prolongeons le côté CA indéfiniment vers E , et menons du point B une droite BË parallèle à la bissectrice AD jusqu’à la rencontre de ce prolongement en E. Dans le triangle CBE , la droite AD, parallèle au côté BE, donne (p.7).
