LIVRE III

Mais à Cause des parallèles AD, BE, coupées par la sécante CE, l’anglê ÂEB est égal à CAD, moitié de CAB; à cause des mêmes parallèles coupées par AB , l’angle ABE est égal à DAB, qui est aussi moitié de CAB; donc l’angle ABE = AEB ; par suite (^1. 1 , p. 6, c.) le triangle ABE est isocèle , le côté AE est égal à AB , et si dans la proportion précédente on remplace AE par AB , on a CD : DB : : AC : AB.

2” Supposons qu’on ait CD : DB :: AC ; AB, je dis que AD sera la bissectrice de l’angle CAB. Pour le^ prouver, faisons la même construction que ci^essus. On aura aussi CD : DB :: AC : AE. Comparant ces deux proportions, on voit qu’elles ont les trois premiers termes communs; donc le quatrième aura la même valeur, et il vient AB=AE. Le triangle AEB est donc isocèle, et l’angle AEB = ABE (1. 1, p. 5, c.). Mais à cause des parallèles AD , BE, l’angle CAD = AEB et l’angle DAB=ABE. Donc les angles CAD, DAB sont égaux, et l’angle CAB est partagé en deux parties égales par la droite AD.

Remarque, La droite AF, bissectrice de l’angle extérieur BAE , supplémentaire de CAB , détermine sur le prolongement de CB un point F, et deux segments CF, BF, dont la différence est CB. On exprime ceci en disant que la droite CB est divisée au point F en deux segments soustractifs , tandis que le point D la partage en deux segments additifs, c’est-à-dire en deux segments dont la somme est CB.

Les deux segments CF , BF sont aussi proportionnels aux côtés CA , AB. En efiet , soit mené BG parallèle à AF ; on aura CF : BF ; : CA : GA. Mais à cause des parallèles , l’angle AGB=EAF, l’angle ABG=FAB. Donc AGB = ABG et dans le triangle AGB , le côté AG sera égal à AB. La proportion devient donc CF : BF : : CA : AB.

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