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Définition x. Deux droites dont l’une AB passe par pig. co. deux points A et B, et l’autre ab par les homologues des premiers , sont dites lignes homologues. On peut les supposer prolongées indéfiniment. Les dislanees ÂB , ab sc nomment des dimensions homologues.

TBÉORÈME.

Si dans deux figures semblables d une troisième , deux Fig. f>7. dimensions homologues à une même dimension de' celte troisième figure sont égales, ces deux premières figures sont égales.

Soient Â, B, C trois points queleonques de la troisième figure; a, b , c leurs homologues dans la première, par rapport au centre de similitude O; d, b', c', etc., les homologues de ces mêmes points A , B , C... dans la seconde figure par rapport au eenlre de similitude O'; si l’on suppose ab égal à db' , je dis que les figures abc ... , db'c'... sont superposables. En effet, d’après la définition 6, on a la proportion OB *. OA :: OA : Ou. Ainsi la droite qui coupe proportionnellement les côtés OB , OA du triangle OAB est (p. 7) parallèle au côté AB ; par une raison semblable, ac est parallèle à*AC : donc les angles BAC, bac , qui ont leurs côtés respectifs parallèles et de même sens (dans le cas de la similitude inverse, parallèles et de sens contraire) , sont égaux. On prouvera de meme que l’angle b' de' est égal à BAC. Donc bac = b'dc'.

De plus, si l’on mène dn point a la droite uD parallèle à OB jusqu’à la rencontre de AB en D , on aura dans le triangle ABO (p. 7) ’

AB:BD::AO:aO; remplaçant BD par son égal «A, il vient AB : ab :i AO : «O ;

on a de même AC ; ne* : : AO : nO, d’où , à cause du rapport commun AO : aO , on aura AB : aê ; : AG : ac. ■

Par un raisonnement semblable , on établira la proportion

AB : o-ê' : : AC : a!c\

Puisque, par hypothèse ab = a'b', ces deux dernières proportions ont les trois premiers termes communs , et l’on aura ac = a'c'. Donc, si l’on superpose a' A' sur son égal ab, à cause de l’angle bac — b' de' , le côté de' prendra la direction de ac, et comme ac=dc', le point c' tombera en c. On verra de même que tout autre point de la figure db'c',.. coïncide avec un point de abc... Donc ces deux figures sont superposables.

Corollaire 1. Pour construire une figure semblable à une figure donnée ABC, etc. , sur une dimension donnée ab homologue à AB, on peut prendre à volonté le centre de similitude, puisque toutes les figures ainsi obtenues sont superposables.

Corollaire 2. Dans deux figures semblables , le rapport des dimensions homologues est constant et égal au rapport de similitude. Car on vient de prouver la proportion AB: ab :: OA : Oa. Mais AB , ab sont deux dimensions homologues (d. 10), et OA : Oa estje rapport de similitude (d. 8); donc, etc.

THÉORÈME

Fig. 68. Si trois points A , B , C sont sur une droite , leurs homologues a , b, c , par rapport à un centre de similitude quelconque O, sont aussi sur une droite parallèle à la première.

En effet , d’après la définition 6 , on a OA : Oa : : OB : Ob, proportion qui prouve (p. 7) que ab est parallèle à AB ; de même bc est parallèle à BC, et comme d’un point