AB : AF : : AF : FB

Par conséquent , le plus grand segment AF est moyen proportionnel entre le plus petit FB et la ligne entière AB.

THÉORÈME

Si Von divise le rayon OA d’un cercle en moyenne et Fig. 82.

GÉOMÉnUK.

extrême raison , le plus grand segment OB soustendra la dixième partie de la circonférence.

Prenons la corde AG égale à BO; tirons BC. Puisque le rayon OA est divisé en moyenne et extrême raison en B, on a AO:BO::BO:BA; remplaçant ici BO par son égal AG, on aura AO : AG : : AG : B A. Ainsi les côtés AO, AG du triangle OAC sont proportionnels aux côtes AG, AB du triangle ABG ; de plus, l’angle compris entre ces côtés est le même de part et d’autre ; donc ces deux triangles sont semblables (p. 16,3*), et ont les côtés proportionnels, de sorte qu’on peut écrire AO ; AG :: GO : BG. Mais AO = CO , donc aussi BC = AG, et comme AG a été fait égal à BO, les deux triangles ABG, BOG sont isocèles.

Cela posé, l’angle ABC, extérieur au triangle BOG , est égal à la somme des angles intérieurs opposés, en G et en O (1. 1 , p. 30, r.); et comme le triangle BOG est isocèle, l’angle en G est égal à O , et l’angle ABC est* double de l’angle O. L’angle BAC est d’ailleurs égal à ABC ; donc BAC = 3xO, et son égal ACO aussi est =3x0. On en conclut que BAC+AC0-f-0=3x 0+3 X 0+0=5 fois l’angle O, et puisque ces trois angles valent aussi ensemble 3 droits , l’angle 0 sera la cinquième partie de 3 droits, 3 4.

c’est-à-dire sera -r ou ^ d’un droit, ou le dixième de 4 O lü

droits. Par conséquent l’arc AC sera le dixième de la circonférence (p. 6).

Corollaire. . On saura donc diviser la circonférence en 10 parties égales. Soit pris l’arc AC' = AC, l’arc CAC' sera le cinquième de la circonférence. En divisant l’arc AC en 3,4, 8, etc., parties égales , on pourra diviser la circonférence en 6, 10, 30, 40, 80, etc., parties égales.