I.IVRE

THEOREME.

Le rayon soustend la sixième partie de la circonférence, pig. gj. Soit la corde DE égale au rayon, et soient menés les rayons OD, OE. Le triangle DOE est équilatéral; par conséquent il a ses trois angles égaux (I. 2 , d. 9), et comme leur somme est égale à deux droits, chacun d’eux sera 2 4

^al à - ou - d’un angle droit. Ainsi l’angle DOE sera

aussi - d’un droit ou - de 4 droits. Donc l’arc DE est le 6 o

sixième de la circonférence.

Corollaire 1. On saura donc diviser la circonférence en

6 parties égales ; la somme de deux de ces parties- sera ^

de la circonférence; si, au contraire, on divise chaque sixième en 2 , 4 , 8 , 16 , etc. , parties égales , la circonférerree se trouvera divisée en 12,24, 48, 96, etc. parties égales.

Corollaire 2. Si l’on prend l’arc AC' égal à — et l’arc AF égal à de la circonférence , l’arc C'F sera ^

viser la circonférence en 16, 30, 60, 120, etc., parties égales.

Remarque 1. Pour diviser la circonférence en 4 parties t'îg- 83. égales, on a déjà dit antérieurement qu’il suffit de tirer deux diamètres perpendiculaires entre eux, tels que AB,

CD; ainsi on saura diviser la circonférence en 4 , 8 , 1 6 , etc. , parties égales.

r.ÉOllÉTRiE.

nemarquc 2. Commo on sait diviser la circonférence en 3 parties égales, on sait aussi diviser la moitié, le quart, le huitième, etc., et tous leurs multiples en 3 parties égales , dé sorte que et r> élanl deux nombres entiers, et C la circonférence , l'expression générale de l'arc que l'on sait, d’après cela, diviser en 3 parties

égales est .—.OnsaitaussidivisorcemâmearcenSparties égales.

Enfin, comme on sait diviser la circonférence en 15 parties égales, on saura aussi : 1° diviser en 3 parties égales le 5% le 10*, etc., et

tous leurs multiples, c’est-à-dire l’arc : 2» diviser en 5 par-

lies égales le tiers, le 6*, le 12‘, etc., et leurs multiples, e’est-âk. C

dire l'arc — Chacune de ces divisions se (ait au moyen d'un 3.2“

nombre déterminé de lignes droites et d’arcs de cercle; c'est ce qu'on appelle une opiration géométrique, au contraire du tâtonnement qui consiste en essais successifs dont on ne peut fixer le nombre à priori.

DÉP/niTioN XII. Un polygone dont les côtés sont égaux entre eux, est dit équilatéral. On appelle polygone équiangle celui qui a les angles égaux entre eux.

Dèfixition x///.<Un polygone qui est à la fois équilatéral et équiangle est appelé polygone régulier. Le triangle équilatéral et le carré sont des polygones réguliers.

DÈFixlTiox xiF. Un polygone est dit inscrit à un cercle lorsqu’il a tous ses sommets sur la circonférence; le cercle est alors dit circonscrit au polygone.

DÈFinniox xr. Un polygone est dit circonscrit à un cercle lorsque tous ses côtés sont tangents à la circonférence, et ce cercle est dans ce cas dit inscrit au polygone.

TBÉORÈME.

Pour inscrire un polygone régulier dans une circonférence , il suffit de la diviser en parties égales et de tirer

LIVRÜ III.

les cordes des arcs ainsi obtenus; et pour circonscrire un polygone régulier , il suffit de mener des tangentes aux points oà la circonférence est divisée en parties égales.

1® Soit la circonférence AO divisée en parties égales aux Fig. 83. points A, E, C , F, etc.; soient joints ces points par les cordes AE, EC, etc.;* je dis que le polygone AECF, etc., sera régulier. Car d’abord les arcs étant égaux, les cordes AE, EC, etc., sont égales, et le polygone est équilatéral.

En second lieu, l’angle AEC a pour mesure la moitié de l’arc CEDA , l’angle ECF a pour mesure la moitié <le l’arc FGHE ; mais ces deux arcs sont égaux comme composés d’un même nombre de parties égales; donc les angles sont aussi égaux; il en est de même de tous les autres angles du polygone , qui est, par conséquent , équiangle aussi bien qu’équilatéral. Donc il est régulier.

2° Soient encore les arcs égaux AB; BC, etc.; aux points Fig. 8{. de division A, B, C.... menons les tangentes GH, HI, etc.; le polygone GHIKLM sera régulier. Pour le prouver, joignez le centre O aux points de contact F, A, etc.; faites tourner le quadrilatère AOBH autour de AO; la droite AH prendra la direction de AG, puisque les angles en A sont droits (1. 2, p. 6); les angles AOB, AOF sont égaux comme interceptant les arcs égaux AB, AF (I. 2, p. 4-); ainsi la droite OB tombera sur OF et le point B en F; comme d’ailleurs les angles en B et F sont droits,. BH prendra la direction de FG, et les deux quadrilatères coïncideront. De là on conclura d’abord que l’angle H=:G, et comme on peut de même prouver que G = M:=L= etc., il s’ensuit que le polygone est équiangle. Ensuite l’égalité des mêmes quadrilatères montre que AH = AG, c’est-àdire que AH est la moitié de GH , et l’on prouve de même que BH est la moitié de Hl. Or, je dis que AHz=BH. Car tirez OH; les deux triangles AOH, HOB ont le côté OH commun , le côté AO=OB, et l’angle opposé au plus grand côté OH égal, comme droit de part et d’autre; ‘‘donc ils

Digitl. • :: ! y C,OOgk

GïOMETIIIE.

sont égaux (I. 2, p. 19, c.), et AH=BH; par suite GH = Hl , comme ayant leurs moitiés égales. Par la même raison HI = IK=: etc. Donc le polygone est aussi équilatéral, et par suite il est régulier.

THÉORÈME

A tout polygone régulier on peut circonscrire et inscrire un cercle,

Fig. 85. 1 " Soient AB, BC, CD, etc., plusieurs côtés consécutifs

d’un polygone régulier; par les trois sommets A,B,C faites passer une circonférence (I. 2 , p. 13) ; je dis qu’elle passera aussi par le sommet D. En effet, soit O le centre de cette circonférence; tirez les rayons AO, BO, CO et joignez OD. Les deux triangles AOB , BOC seront égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, puisque AO, BO, CO sont des rayons d’un même cercle, et que AB = BC comme côtés d’un même polygone régulier; ces deux triangles étant d’ailleurs isoscèles, il s’ensuit que les 4 angles OAB, OBA, OBC, OCB sont égaux. Mais les angles ABC, BCD sont aussi égaux, puisque le polygone est régulier; si donc du premier on retranche OBA, et du second son égal OCB, les restes OBC j OCD seront égaux , et les deux triangles OBC , OCD auront un angle égal compris entre côtés égaux; savoir, l’angle OBC = OCD , le côté OC= OB comme rayons , le côté CÆ = CD comme côtés d’un polygone régulier. Donc aussi OD=OC, et le cercle décrit du point O avec le rayon OB passera aussi en D. On prouve de même qu’il passera par les autres sommets du polygone. Donc il sera circonscrit au polygone.

2* Par rapport au cercle circonscrit, les côtés du polygone sont des cordes égales ; donc elles sont également éloignées du centre (I. 2 , p. 4), de sorte que si du centre

LITRE III

on abaisse sur les côtés les perpendiculaires OG, OF, 01, etc., ces perpendiculaires sont égales, et le cercle décrit du point O avec le rayon OG passera par les extrémités G , F, I, etc. , de ces perpendiculaires, points qui sont en même temps les milieux des cordes (I. 2, p. 3) ; de plus , ce cercle sera tangent , en ces points , à ces mêmes cordes (I. 2, p. 6). Donc il sera inscrit au polygone.

Remarque 1. Le centre commun du cercle circonscrit et du cercle inscrit est appelé centre du polygone. Les angles AOB, BOC,etc., tous égaux, se nomment angles au centre. On trouve l’angle au centre d’un polygone en divisant 4 droits ou 360° par le nombre des côtés du polygone.

Remarque 2. D’après les propositions 26,27, 28 et leurs corollaires, on saura inscrire et circonscrire à toute circonférence les 4 séries de polygones réguliers suivants :

1' Les polygones de 3, 6, 12, 24, 48, etc., côtés.

2° de 4, 8 , 16 , 32 , 64, etc.

3°. de 5, 10, 20, 40, 80, etc.

4“ de lô, 30, 60, etc.

Remarque 3. On trouve l’angle d’un polygone régulicr (non pas l’angle au cenitre) en divisant la somme des angles par le nombre des côtés. Si deux polygones réguliers ont même nombre de côtés, la somme des angles est la même (1. 1 , p. 21); par conséquent, les angles sont égaux de part et d’autre. De plus, on peut dire que les côtés sont proportionnels; car si l’on forme une série de rapports dont les antécédents soient les côtés de l’un des polygones, et les conséquents ceux de l’autre, ces rapports seront égaux. Ainsi (p. 14) deux polygones réguliers qui ont même nombre de côtés sont semblables.

Soit n le nombre de» côtés d’on polygone régulier ; en prenant l'angle droit pour unité, on aura pour la somme des angles

2(n-2), et la valeur de chaque angle sera ^ = .

GbUMhrrHIE.

Remarque A. il n’est pas nécessaire que AB , BC , etc., forment un polygone fermé pour qu’on puisse circonscrire et inscrire les cercles au contour ABCD ; il suffit que les côtés soient égaux, ainsi que les angles.

DÈFixiTioy xri. Le rayon du cercle circonscrit à un polygone régulier est appelé rayon du polygone; celui du cercle inscrit est appelé apothème du polygone.

THÉORÈME

Les contours ou périmètres de deux polygones réguliers semblables sont entre eux comme les rayons et comme les apothèmes.

ï'ig. 8C. Les deux polygones ayant même nombre de côtés , l’angle au centre sera le même de part et d’autre (p. 29 , r. 1). Plaçons l’un de ces angles dans l’autre; soit AB le côté de l’un des polygones, ab celui de l’autre, ACB l’angle au centre. Puisque les rayons AG, BC sont égaux, que les rayons aC , Cô le sont , on peut écrire la proportion AC : flC :: BC : ôC, d’où l’on conclut que ab est parallèle à AB (p. 7); si donc du point C on mène CD perpendiculaire à AB, les parallèles donnent la proportion (p. 7) AC : aC ;; CD : Cd; les triangles semblables (p. 16, 2°) ABC, abC donnent aussi AC ; «C :: AB : ab. D’un autre côté, nommant P, p les périmètres des deux polygones, on a (p. 14, c. 2) P : p AB : ab ; donc à cause des rapports communs ,

P ;p :: AC : aC CD : Cd ,

mais AC, «C sont les rayons, CD, Cd les apothèmes; donc , etc.

Remarque. Les centres de deux polygones réguliers semblables sont des points homologues.