LIVRE III

THÉORÈME

Toute figure semblable à un cercle est un cercle , et réciproquement tous les cercles sont semblables.

Soit UD cercle OA ; prenant le centre O pour centre de «imili- Fig. 87. tudc , tirez à volonté les rayons OA , OB, OC ; placez sur OA ou sur son prolongement un point a quelconque , construisez une figure semblable au cercle donné, en regardant a comme homologue de A ; à cet effet il faut diviser les rayons vecteurs OB, OC, etc. , en des points é , c , etc., de façon qu'on ait

OA : Oa OB : 06 :: OC : Oc, etc. (déf. 6). •

Or, puisque OA=OB = 0C= ... , on a aussi 0a = 0b = 0c = etc.

Donc les distances Oa. 06, Oc... sont égales , et le lieu des points a, b, e , est une circonférence de cercle.

Réciproquement tous les cercles sont semblables ; car si l'un donne à la droite Oa toutes les grandeurs possibles , on pourra au lieu do cercle Oa obtenir tous les cercles possibles , toujours comme figures semblables é OA.

CoroUairei. Les rayons sont des dimensions homologues (déf. 8, et p. 11 , c. 2) et les centres sout dos points homologues.

Remarque 1. Si deux cercles inégaux ne sont pas concentriques, Fig. 88. ils ont toujours deux centres de similitude communs. Car soient AB, ab deux cercles 'inégaux. A, a leurs centres; menez deux rayons parallèles AB, a6 du même côlé de la ligne des centres; tirez B6 . qui coupera en O la ligne des centres prolongée. Si du point 0 comme centre de similitude , et en prenant a pour homologue de A , on construit une figure semblable au eercle AB , celle figure sera on cercle ayant son centre en a , et passant en 6. homologue de B. C’est donc le cercle ab. Par conséquent O est un centre de similitude commun.

En second lieu , prolongez 6a jusqu'en 6', lirez B6', qui coupe la ligne des centres en 0' ; si de 0' comme centre de similitude , en prenant a comme homologue de A, on construit une figure semblable au cercle AB , cette figure sera un cercle ayant a pour centre et passant en 6', homologue de B. Donc 0' est un second centre de similitude commun.

UÉUHtTRIE.

l'ig. 88. Corollaire 2. Les taugenles commanes à deux cercles passent les unes au poiut O , les autres au point O'. Car soit Dd une tangente commune; menons les rayons de contact AD , ad; ils seront perpendiculaires  celte tangente, et par suite parallèles entre eux, ce qui montre que la droite Dd passe en O. Les tangentes extérieures telles que Dd passent donc au centre de similitude directe O, tandis que les tangentes intérieures comme Es passent au centre de similitude inverse O' , comme on peut le démontrer. On reconnaîtra d’après cela qu’on no peut jamais mener plus de 4 tangentes communes à deux cercles , et que pour les obtenir il sufQt de mener , des deux centres de similitude , des tangentes à l'un des cercles. Si les cercles se touchent ou se coupent, il y a moins de 4 tangentes communes. Il peut même se faire qu’il n’y en ait aucune.

Remarque 2. Si deux cercles se touchent extérieurement, le point de contact est le centre de similitude inverse; s’ils se touchent intérieurement , le point de contact est le contre de similitude directe. Deux cercles concentriques ont leurs centres de similitude confondus avec le centre commun. Deux cercles égaux non concentriques , de même que deux polygones égaux non superposés, n’ont jamais de centre de similitude directe ; les rayons vecteurs relatifs à ce centre deviennent parallèles.

Fig. 87. Remarques. Deux arcs semblables AB, ab répondent à des angles au centre égaux, et réciproquement.

Défiiutioü xvn. On entend par ligne courbe ou contour convexe tout contour qui ne peut être coupé en plus de deux points par une droite indéfinie. La circonférence du cercle est une ligne convexe.

THÉORÈME

Toute ligne qui enveloppe un contour polygonal convexe est plus longue que la ligne enveloppée,

Fig 89 II y ® deux cas : 1“ Les deux lignes AGE, ABCDE se terminent fi deux points communs A, E. Tirez AE, et prcmint