CD+DI<CH-|-HI

FB-t-BC+CH<FGH.

AB < AF-+-FB.

Ajoutant toutes ces inégalités membre à membre et retranchant de part et d’autre les parties communes Dl,

CH , FB , on aura

Contour ABCDE<^ AFGIE.

2* Les deux contours ABCDEA, IFGHI sont fermés sans Fig. 90. avoir aucun point commun. Prolongez un côté AB du contour intérieur jusqu’à sa rencontre avec le contour extérieur en H et F. D’après le premier cas on aura

AE-i-ED+DC-l-CB < AH+HGF+FB.

D’ailleurs HF ou AB-+-AH+FB < HIF;

ajoutant ces deux inégalités et retranchant de part et d’autre les parties communes AH, BF, on a

AE-f-ED-l-DCH-CB+AB < HGF-4-HIF, ou contour ABCDEA <\ HGFIH.

Remarque l.Si le contour intérieur n’était pas convexe, on ne pourrait plus prouver qu’il est plus petit que l’autre.

Remarque 2. Ce théorème étant vrai, quelque petits et nombreux que soient les côtés du polygone intérieur, on peut aussi l’admettre dans le cas où ce polygone serait remplacé par une courbe convexe.

DÉFifiJTioN xviii. Un polygone à côtés infiniment petits est appelé polygone infinitésimal.

r.rôxÉTRIE.

THÉORÈME

La différene» entre une circonfirence et le périmètre d'un polygone régulier infinitésimal, inscrit ou circonscrit, est infiniment petite.

Soit A le rayon du cercle ; inacrivcz-y un polygone régulier iiiflnilésitnal; soit p le périmètre, r l'apotbèmede ce polygone; circonscrivez un polygone semblable (p. 28 et 29), soit P son périmètre, son apothème sera A. D'après la prop. 30 ou a P : p A : r

- on P—p:P::R—r:R

d’où P-p—Ç^-j^y P.

On peut supposer que nos polygones ont plus de A côtés, et que, par suite , P est plus petit que le périmètre du carré circonscrit,

lequel est égal è 4 diamètres, ou è 8A; donc P — p<

ou<8(A— r).

Fig. 91. Or, je dis que la différence A— r peut être prise aussi petite qu'on veut. Car s'il s'agit de la rendre moindre qu'une ligne donnée, on portera cette ligne sur un rayon cA, de c en d; en d on élèvera une corde ki perpendiculaire à ce rayon Ac, et l’on partagera la circonférence en parties égales moindres que l'arc kci. Soit k‘i' une de ces parties ayant son milieu en c; la corde k'i‘ sera plus petite que ki, elle sera donc plus éloignée du centre (I. 2, p. 5j; mais sa distance au centre Ad' est l'apothème du polygone régulier dont la corde elle-même sera un côté. La différence entre l'apothéme et le rayon sera donc cd‘. quantité moindre que cd.

Cela posé, puisque A— r est infiuiment petit, 8 (A-r) l'est aussi (p. 1 , r. 3) ainsi que P— p. Or, la circonférence est comprise entre P et P; donc elle diffère infiniment peu de chacune de ces deux quantités.