C : C :: 2R : 2R' ou C : 2R : ; C' : 2R

ce qui signifie que le rapport de la circonférence au diamètre est invariable et ne change pas d’une circonférence

à l’autre. Désignons ce rapport par n, de sorte que —

=■71, et C=:2;rxR; on voit que pour calculer la longueur d’une circonférence dont le rayon R est donné, il suffit de multiplier le diamètre 2R par tt ^ ou le rayon R par 2jr.

Ce nombre ti est incommensurable (Géométrie de Legendre , note 4 ). Archimède , illustre géomètre syracusain, mort l’an 212 avant l’ère vulgaire, a prouvé que ti 220 223

est compris entre et fractions dont la différence

est — ; ainsi

— ou — surpasse n d’une quantité

moindre que

. Adrien Métius, géomètre hollandais

du dix-septième siècle , a donné pour n la valeur

îTâ’

qui est exacte à moins d’un millionième; on la retient facilement en écrivant les trois premiers chiffres impairs chacun deux fois de suite, ce qui donne 113355; les trois premiers chiffres de ce nombre forment le dénominateur, les trois derniers le numérateur. Ludolph van Keulen , également Hollandais, a calculé n avec 14 décimales, et Véga , géomètre autrichien, avec 140. En décimales on a 7T = 3,141592653589793-)- etc. On trouvera dans les problèmes suivants une méthode élémentaire pour déterminer ce nombre.

PROBLÈME

Etant donnés I« rayon R et l’apothèma r <t'un polygone régulier, trouver le rayon R, et V apothème r, d'un polygone r^yulierde même périmètre et d'un nombre de côtés double.

‘'•E. 92. Soit AB un côté do polygone régulier donné , O ion centre ; OA fera le rayon R , OC perpendiculaire à AB, sera l'apotbème r, et AOB sera l'angle au centre. Le second polygone ayant deux fois autant de côtés que le premier , son angle au centre sera moitié de AOB; comme il a d'ailleurs môme périmètre que le premier, son côté sera moitié de AB. Or, si l'on prolonge l'apothème CO jusqu'à la circonférence en E , qu'on joigne AE , BE , l'angle inscrit AEB sera la moitié de l'angle au centre AOB, qui intercepte le môme arc (1. 2, p. 22), L'angle AEB est donc l'angle au centre du polygone cherché. De plus, si du centre O on mène une perpendiculaire à la corde AE , le point de rencontre F sera le milieu de celte corde (I. 2, p. 3); menons donc du point F la droite FG parallèle à AB jusqu'à la rencontre de BE; les triangles semblables ABE, EFG donneront ( p. 16 , 3° ) AE : FE : : AB : FG. Comme FE est moitié de AE , FG sera la moitié de AB ; FG est donc le côté du polygone