LIVRE III

l’octogone régulier isopériraclrc ; r, et /t, différeront moins qne ret/i, et le rayon de la circonférence est encore compris entre ces lignes r, et B,. Au moyen de l’octogone, on trouvera le rayon et l’apotbème du polygone régulier de 16 côtés ; on continuera ainsi , et l’un trouvera que le rayon et l’apothème du polygone régulier de 16384 côtés sont tous les deux , jusqu'à la septième décimale , représentés par 0,6366196 ; par conséquent , le rayon de la circonférence isopérimétre , lequel est compris entre ces deux lignes , est aussi , an septième ordre près , égal à ce nombre. On divisera donc la circonférence 4 par le double de ce nombre, ou, ce qui revient an même , on divisera 2 par ce nombre 0,6366196 , et l’on trouvera it = 3,14159-1- etc.

■•■Bemarque, Trois questinns se présentent ici : 1 ° pour avoir rr avec une approximation déterminée , jusqu’à quelle approximation faut-il calculer le rayon du cercle, rayon que nous désignerons par p; 2° combien faut-il calculer de rayons r, , B, , r,, B, , etc. , pour avoir p avec cette approximation-là ; 3° enfin , avec quelle approximation fant-il en conséquence calculer les premiers rayons et apothèmes.

1° Soit a la valeur approchée de ^ , p la différence, on aura p = a-hfi.

La valeur exacte de tt est - ou , celle que l’on calcule est

l’erreur est donc r = ST » quantité moindre

que Le premier apothème r est - ou 0, 5; le quatrième , ainsi

que tous les suivants , est plus grand que 0,636, comme le calcul

le montre ; donc l'erreur est a fortiori moindre que ^ ^ 3 ^» » P®*"

conséquent moindre qne 5P. Telle serait la limite de l’approxima-

tion si l'on prenait exactement - ; mais on réduit cette quantité en décimales , et pour être certain du sens de l’approximation, on doit

la calculer en plus, de même que - est déjà approché en plus ; soit

GÉOMKTME.

9 le quotient jusqu'à un certain ordre décimât, (}' la partie néa

gligée , de sorte que - = q — P' ; on a - — tt<5$

ou q—P' — rr<5fî et ç— t: < 5()-t-p'. *

SI l’on calcule « à moins de — , de sorte que p'< — -, il est

inutile de pousser le calcul de q plus loin qu’à l’ordre y. Admettons que P' soit aussi moindre que , il s’ensuit que q — sera

< . Si avec cela le dernier chiffre de q est égal ou supérieur a

0, on pourra le supprimer , et on aura » à moins de — - — ; car

si l’on a , par exemple , q ~ 3,14159267 à — r près , on aura q— -

< — r, TT>q ^ ou >3,14159261 et r < 3,14159267 ; ainsi a

fortiori tt> 3,1415926 et <3,1415927...; donc les 7 premières décimales sont bonnes et le résultat est approché en moins. Mais si le dernier chiffre était moindre que6, on n’anrailque y — 2 bons chiffres. En effet, supposons que l’on ait v = 9 et q = 3,141592654 , il Tiendra ir< 3,141592054 et tt > 3,141592645; et tout ce qu’on peut conclure, c’est r< 3,14159266 et >3,14159264, ou en négligeant encore on chiffre, 77 < 3,1415927 et >3,1415926. Si donc on tient à ce que tous les chiffres conservés soient bons, on volt que

» étant calculé à moins de , t: aura y — i, ou au moins y — 2

bous chiffres , sauf le cas où le chiffre de rang y étant <6, celui

de rang v — 1 serait un zéro. Car si l’on a, je suppose, à

près, un nombre m < 1,40004, on aurait m> 1,39998; on aurait bien m>l,399, mais on ne saurait conclure m<l,400. Dans ce cas il faut pousser le calcul au moins jusqu’au second chiffre à la suite du dernier zéro. TJn premier point établi , c’est donc qu’en

calculant » à moins de , on est généralement certain d’avoir