A'O"' AO' ■ A

ou AO '. A"O'.A'0=A'0 ". A0'.A"0'.

Ainsi , dans le triangle AA' A", les 3 points O, O', O", situés sur les prolongements des côtés , y déterminent six segments tels que

r.ÉüMÉTRlE.

le prodail de trois scgmcDls non consécutifs est égal au produit des trois autres. Donc O, O', O' sont en ligne droite (p. 37, c.).

2° Dans le cas de la ligure 97, O, O' sont des centres de similitude inverse situés par conséquent sur les côtés mêmes du triangle AA'A"; O" est un centre de similitude directe situé sur le prolongement d'un côté. En raisonnant comme dans le premier cas , on prouvera que ces trois points sont en ligne droite.

Corollaire 1. Rien n'empêche de supposer que dans chacune des deux ligures 96 , 97, les trois points A, A', A", sont les centres de Fig. 98. trois cercles, et AB, A'B', A"B", des rayons ; par conséquent si l'on , considère trois cercles inégaux avec leurs six centres de similitude O, O', O", Q, Q' Q", on reconnaîtra que les trois centres de similitude directe O, O', O", sont en ligne droite, et que chacun de ces trois centres est en ligne droite avec deux centres de similitude . inverse. Les trois cercles ont donc 4 axes de similitude , dont l'un OO'O'' se nomme l'axe de similitude directe, les trois autres sont appelés axes de similitude inverse.

Corollaire 2. Si un cer'cle en touche deux autres de la même manière, les deux points de contact sont des centres de similitude directs tous les deux, ou inverses tous les deux ^p. 31,r. l);ces deux points de contact sont donc en ligne droite avee le centre de similitude directe des deux cercles. De même si un cercle en touche deux autres de différentes manières , les points de contact sont en ligne droite avec le centre de similitude inverse.

Bemargue. Trois polygones réguliers semblables qui ont leurs côtés en nombre pair, et sont placés de façon qu'ils aient les côtés parallèles', ont aussi quatre axes de similitude.

THÉORÈME

Fig 99 Les droites AO, BO, CO, gui joignent les trois sommets d'un triangle et 100. ABC ô un même point O du plan de ce triangle, déterminent sur les côtés, ou sur leurs prolongements, six segments, dont trois , non consécutifs. forment un produit constant.

En effet, dans le triangle AA'C la transversale BB' donne (p. 38)