BA' BA BC' ~ BC

Les triangles BAB', CAC' donnent aussi AC' AC AB' ~ BA

ËnOn, les triangles ACA', BCB' donnent CB' CB CÂ"' ~ AC'

Mullipliant ces trois égalités membre à membre, on trouve BC' AB- CA'

ou BA' X AC' X CB' = BC' X AB' X CA'.

Comme d'ailleurs les trois points A', B', C sont nécessairement en nombre impair sur les côtés et en nombre pair sur leurs prolongements, il s'ensuit que AA', BB', CC se coupent en on point.

Corollaire 3. Les 3 droites qui joignent les sommets d’un triangle Fig. 102. aux points où les côtés opposés sont touchés par Vun quelconque des 4 cercles tangents aux trois côtés , se coupent au même point ( 1. 2, p. 21 . Car, soient A', B', C' les points de contact de l'on de ces '

cercles; on aura (1.2, p. 23, r. 1) B.\'= BC', AC'= AB',CB'=CA', d'où B.\' . AC' . CB' = BC' . AB'. CA', ce qui prouve que les trois droites AA', BB', CC' se coupent en un point. Mémo raisonnement pour les trois antres cercles.

GEUMK'rRIl'..

Fi(. 104.

io8

THÉORÈME

Si l’on mène à volonté une parallèle C'B' à un côté BC d'un triangle ABC, et qu'on joigne les extrémités de ce côté aux points C', B' déterminés sur les côtés opposés ou sur leurs prolongemente , les droites ainsi tracées se couperont sur celle qui joint le sommet A au milisu A' de ce même côté BC.

Eo effet , puisque B C est parallèle à BC, on a AB':BC::AC':C‘B, d’où AB'XC'B— B'CX AC'.

U'ailleurs CA'=BA'.

Multipliant, on a AB' X C'B X CA' = B'C X AC'X BA'.

Et, en vertu du cor. 1 de 1a prop. 39, les trois droites AA', BB', CC', se coupent en un point.

Corollaire 1. Si le point B' est pris au milieu de AC , le point C' sera aussi le milieu de AB, et par conséquent les droites qui joignent les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés, se coupent en un point.

Corollaire‘2. Pourmenerpar unpointC' une parallèleCB, on peut prendre sur BC deux longueurs égales à volonté, BA' et A'C, joindre BC' et prendre sur cette droite un point arbitraire A qu'on joindra aux points A' et C ; tirer CC' qui coupera AA' en un point O ; si l'on tire BO et qu’on prolonge jusqu'à AC en B', la droite C'B' sera parallèle à CB. Car si on mène par C' une parallèle à BC, elle coupe AC en un point tel que la droite qui joint ce point au point B passe en O. Donc B'C' est cette parallèle.

Remarque. La prop. 40 peut être regardée comme comprise dans la suivante.

THÉORÈME

Si d'un point O pris sur le plan d'un angle BAC on mène à volonté deux transversales OC , OG , qu’on joigne les points d’intersection de ces transversales et des côtés de l’angje par les droites BG , FC qui se couperont en un point I, le lieu du point I sera une droite qui passera