PROPOSITION PREMIÈRE

THÉORÈME

Deux plans quionl trois points communs non situés en ligne droite se confondent dans toute leur étendue.

Fig. 1. En effet, supposons que les trois points A, B,C, qui ne sont pas en ligne droite, soient à la fois conteuus dans deux plans; si l'on tire la droite AB, elle aura deux points, A, B, dans chacun de ces deux plans, et sera par conséquent (d. 7) tout entière dans chacun ; il en est de mémo de la droite qui joint les points A et C.

LIVRL I.

Cela posé, soit pris dans le premier de nos deux plans un point quelconque E ; je dis que ce point est aussi dans le second plan. Car prenez sur AB, de l'autre côté do AC, par rapport an point E, un point quelconque D, et lirez la droite ÜE; celte droite sera tout entière dans le premier plan; car le point E par hypothèse est pris dans ce plan ; le point D y est puisqu’il est sur la droite AB, qui ellc-nièine y est tout entière; donc la droite DE, qui a deux ‘ points D , £ , dans le premier plan , y est anssi tout entière ; elle coupera donc la droite AC en un point F. Mais AC est aussi dans le second plan, par conséquent le point F est un point du second plan ; le point D aussi, puisque AB est aussi dans ce plan. Par conséquent la- droite DF est dans le second plan, et son point E est ' également dans ce second plan. Il est donc prouvé que tçut point E du premier plan appartient aussi au second , et que , par suite , ces deux plans n'en font qu'un seul.

CoTollaire. Donc deux Ogures planes dont les contours sont superposés, coïncident.

Remarque. Dans les quatre premiers livres, toutes les figures seront supposées planes.

Défihition IX. Deux droites AB, AC, qui sont situées Fig- 2. dans un même plan et sc coupent en un point A, forment entre elles un angle ; le point A se nomme le sommet de ' l’angle; les, droites AB, AC, se nomment les côtés.

Pour se faire une idée nette de l’angle, on n’a qu’ii supposer que la droite AB, d’abord couchée sur AC et ne faisant qu’une seule et même droite avec celle-ci , tourne autour du point A, tandis que AC reste fixe; à mesure que ÀB tourne, l’angle qu’elle fait avec AC augmente.

L’angle se désigne par trois lettres, dont une placée au sommet et les deux autres sur les côtés; la lettre du sommet se place entre les deux autres. Ainsi l’angle formé par AB et AC SC nomme l’angle BAC.

Soit un second angle bac, plaçons le côté ne sur AC de façon que le point a tombe sur A; le point c tombera quelque part en E. Si l’on couche le plan bac sur le plan BAC, tro'îs cas pourront sc présenter : i® le côté aô peut tomber sur AB, de sorte que b vienne tomber en un point

(;fumétrii:.

F ; dans ce cas on dil que l’angle bac csl égal à l’angle BAC ; 2® le côlé ab peut tomber entre AB et AC, par exemple, sur AD; et dans ce cas l’angle bac est dit plus petit que BAC, qui est la somme des angles BAD, DAC; 3° enfin, si le côté ab tombe hors de l’angle BAC, en AG je suppose, l’angle bac sera dit plus grand que BAC. On voit donc que l’on compare les angles sans avoir égard à la longueur de leurs eôtés.

. Au lieu de désigner un angle par trois lettres , on peut le désigner par la seule lettre du sommet , s’il n’y en a qu’un qui ait son sommet au même point : ainsi on peut dire l’angle a.

Fig . 3. Dbfitiitiôh X. Si une droite AB fait avec une droite DC deux angles adjacents BAD, BAG, égaux entre eux , chacun de ces angles est appelé angle droit , et la droite BA est dite perpendiculaire à DC.

Remarque. Supposons, comme plus haut, que la droite AB, d’abord couchée sur AC, tourne autour du point A, dans le plan BDC, pour s’élever au-dessus de AC ; cette ‘ droite mobile fera d’abord avec AC un angle plus petit qu’avec AD; mais, à mesure qu’elle tournera , elle s’écartera de AC pour se rapprocher de AD, ou, en d’autres termes, l’angle qu’elle fait avec AC augmentera , tandis que celui qu’elle fait avec AD ira en diminuant, de sorte qu’elle finira par prendre une position AM telle que l’angle MAC sera plus grand que MAD. On conçoit donc qu’il existe pour cette droite mobile, au-dessus de AC, une position unique telle que AB, où elle fera, avec AC et AD, des angles égaux; c’est lorsque la droite mobile a pris celte position AB qu’elle est perpendiculaire à DC. Ainsi, à tout point A pris sur DC, il existe une perpendieulaire AB élevée sur DC , mais il est impossible de trouver du même côté de DC une seconde perpendiculaire menée par le point A dans le plan DBC, sur DC.

De plus , si la droite FH est perpendiculaire à GI , qu'on

LlVRi; I.

place le poinl F sur A de façon que la droite GI prenne la direction de DC et que le plan HGI tombe sur le plan DBG, on voit que FH doit tomber sur AB. Car si FH prenait une autre direction , telle que AE , comme la droite GI à laquelle FH est perpendiculaire, tombe sur DC, il s’ensuit que AE serait perpendiculaire à DC en A; mais AB l’est aussi , et au point A il n’y a qu’une seule perpendiculaire sur DC. Donc FH prendra la direction de AB, et l’angle > HFI est égal à l’angle BAC , ce qui prouve que tous les • angles droits sont égaux.

DÉFi.yiTiOif XI. Tout angle EAC plus petit qu’un angle Fig. 3. droit est appelé angle aigu. Tout angle EAD plus grand qu’un angle droit est appelé angle obtus.

Définition xii. Deux angles dont la somme est égala à deux angles droits sont Sits supplémentaires ; on dit encore que l’un est le supplément de l’autre.

Remarque 1. Detix angles qui ont le même supplément sont évidemment égaux.

Remarque 2. Le supplément d’un angle droit est luiméme un angle droit.

THÉORÈME

Toutes les fois qu’une ligne droite CD en rencontre une f ig. 4. autre AB , les angles adjacents ADC , CDB , sont supplémentaires.

Car si au point D on mène la droite DE perpendiculaire à AB, l’angle ADC se composera de ADE-|-EDC; donc ADC 4-CDB=ADE-|“EDC-1-CDB; or ADE est un angle droit; EDC-t-CDB forme l’angle droit EDB; donc ADC-I-CDB vaut deux angles droits.

Corollaire I. Si l’un des deux angles adjacents était Fig. 3. droit, l’autre le serait aussi (d. 12, i-. 2). Par conséquent, pour qu’une droite HF soit perpendiculaire a une autre

GÉOHÉTRIt.

G1 , il suflil que l’un des deux angles adjacents GFU , IFII soit droit, puisque dès lors l’autre l’est aussi (d. 10). Donc si une droite FH est perpendiculaire à une autre GI, réciproquement GF est aussi perpendiculaire à HK; car HF étant perpendiculaire à GI , l’angle GFH est droit , ce qui suffit pour que GF soit perpendiculaire à HK.

Fig. 4. 'Rémarque. Si du point D on lire du même côté de AB tant de droites qu’on voudra, la somme des angles consé- • culifs ADH, HDG, GDC, etc., est la même que celle des deux angles droits ADE , EDB.

PHOPOSITION III.

Fig. t. Réciproquement si deux angles adjacents kDC, CDB, font en somme deux angles droits, les côtés extérieurs AD, DB seront en ligne droite.

Car si DB n’était pas le prolongement de AD, soit DK ce prolongement; la ligne ADK serait d.^oile, et la somme des angles ADC-f-CDK serait égale a deux droits; mais si cela était, la somme ADC+CDB serait plus petite que deux droits , ce qui n’est pas. Donc DK ne saurait cire le prolongement de AD. Donc DB est ce prolongement.

THÉORÈME

Si deux droites AB, CE, se coupent , les angles opposés au sommet sont égaux.

Fig. 5. En effet, AB étant une ligne droite, l’angle ADC est supplémentaire de CDB (p.2); par une raison semblable, le même angle ADC est supplémentaire de’ADE; donc les deux angles ADE, CDB ont le même supplément et sont égaux (d. 12, r. 1). On prouve de même que ADC = BDE.

Remarque t. La somme des 4 angles formés autour du