LIVRE I

point D vaut 4 angles droits. Car (p. 2) la somme des angles ADC-j-CDB vaut 2 droits , de même que la somme des , angles ADE-l-EDB.

En général, si d’un point D on mène, dans différentes directions , tant de droites qu’on voudra , la somme des angles consécutifs ainsi formés sera la même que celle des angles ADC, CDB, BOE, EDA, laquelle vaut quatre angles droits.

Définition xiii. Une portion de plan ABC terminée Fig. fl, par trois droites qui se coupent deux à deux se nomme . triangle. •

Définition xn\ Le triangle qui a deux côtés égaux Fig. 7. (AB=AC) est appelé triangle-isocèle. '

THÉORÈME

Deux triangles ABC , DEF , sont égaux , s’ils ont un Fig. 8. angle égal (A D) , compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir AB=Dft, AC = DF.

En effet, placez le côtç DF sur son égal AC, de façon que le point D tombe en A, le point F en C. Puisque l’angle D=A, le côté DE prendra la direction de AB, et comme DE=AB, le point E tombera en B, de sorte que le triangle DEF co'incide complètement avec le triangle ABC. Ces deux triangles sont donc égaux, et l’on aura aussi BC = EF, B=E,C=F.

Corollaire. Si AB est égal à AC, et DE à DF, de sorte , que les deux triangles soient isocèles, on petit les superposer d’une seconde manière, et ce , en plaçant le côté DF sur AB et-le côté DE sur AC; par conséquent, l’angle F sera égal à B ; mais F est déjà égal à C par ce qu’on vient de prouver. Donc les angles B et C, égaux à un même angle F, sont égaux entre eux. Ainsi, dans un triangle

isocfle, tes ailles B c/ C, opposés aux côtés égaux AC , AB, sont égaux.

TBÉORÉME.

Fig. 8. Deux triangles ABC , DEF , sont égaux , s’ils ont un côté égal (RC = EF) adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, savoir B = E , C=F.

Placez le côlé EF sur son égal BC , de manière que le point E tombe en B, le point F en C. Puisque l’angle E= B, le côté ED prendra la direction de BA , et le point D tombera quelque part sur BA; de même, puisque l’angle F=C , le côté FD prendra la direction de CA et le point D tombera quelque part sur CA. Donc le point D, devant tomber à la fois sur BA et sur CA , tombera en A ; ainsi les deux triangles coineideront, seront égaux et l’angle A sera égal à D , le côté BA à ED , et le côlé CA à FD.

Corollaire. Si de plus on suppose l’angle Cz=B et l’angle F = E, on pourra superposer les deux triangles d’une seconde manière. A cet effdt on place le point E en C et le point F en Jî; puisque les quatre angles B, C , E, F sont égaux, le côlé FD se dirigera sûr BA, le côlé ED sur CA, les deux triangles coïncideront, et le côté FD sera égal à BA; mais FD est déjà égal à CA, dont BA et CA sont égaux. Par conséquent, si, dans un triangle ABC , deux angle B et C sont égaux , les côtés AC , AB, opposés à ces angles , sont aussi égaux, et le triangle est isocèle.

THÉORÈME

Fig. 9. Si deux côtés AB , AC d’un triangle ABC sont respectivement égaux à deux côtés AD , AC d’un second triangle ADC; si de plus l’angle BAC que comprennent les deux

LIVKK 1.

premiers côtés est plus grand que l’angle DAC compris par les deux derniers , je dis que le' troisième côté BC du premier triangle est plus grand que le troisième côté DC du second.

Après avoir placé les deux triangles de façon que l’un des côtés égaux soit commun, divisez l’angle total BAD en deux parties égales par une droite AE. Puisque l’angle BAC est plus grand que l’angle CAD , cette droite AB passera dans l’angle BAC et coupera la droite BC en un point E; joignez DE. Actuellement, quelle que soit la ligne DCE, qu’elle soit droite ou brisée, CD sera plus petit que CE+ED. Mais les triangles BAE, EAD ont les angles BAE,

EAD égaux comme moitiés du même angle, le côté AE commun , le côté AB = AD par hypothèse. Donc (p. 5) ils sont égaux et le côté ED=EB. Par conséquent CD, qui est plus petit que CE-|-ED, est aussi plus petit que CE+EB ou que CB.

Corollaire, Réciproquement, si les côtés AB, AC sont respectivement égaux à AD , AC ; si de plus le côté BC est plus grand que le côté CD , je dis que l’angle BAC est plus grand que DAC. Car si l’angle BAC était plus petit que DAC, comme AC est commun, et que BA=AD, le côté BC serait, d’après ce qu’on vient de prouver, plus petit que CD, ce qui est faux; et si l’angle BAC était égal à DAC, les deux triangles auraient un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; ainsi ils seraient égaux (p. 5) et le côté BC serait égal à DC, ce qui est encore faux. Donc enfin l’angle BAC est plus grand que DAC.

THÉORÈME

Deux triangles sont égaux s’ils ont les trois côtés égaux Fig. 8. chacun à chacun.

Soit le côté AB = DE, AC = DF, BC = EF; je dis que

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OKOMKTHIK.

l’angle A opposé au côté BC est égal à l’angle I) opposé à EF. Car si l’ahgic A était plus grand que D , comme les côtés AB, AC, qui comprennent le premier, sont égaux ' respectivement aux côtés DE, DF, qui comprennent le second , le côté BC serait plus grand que EF (p. 7 ); et si l’angle A était plus petit que D , le côté BC serait plus petit que EF ; donc l’angle A=D, et les deux triangles ABC, DEF, ayant un angle égal compris entre côtés égaux, sont égaux (p. 5), de sorte que l’angle B=E , l’angle Cz=F.

Remarque, Dans deux triangles égaux , les angles égaux sont opposés à des côtés égaux de part et d’autre.

PIIOPOSITION IX.

THÉORÈME

10 . , De deux côtés d’un triangle celui-là est le plus grand

qui est opposé ci un plus grand angle ; et de deux angles d’un triangle celui-là est le plus grand qui est opposé à un plus grand côté.

1° Soit l’angle CAB plus grand que l’angle B, je dis que le côté CB est plus grand que le côté CA. Pour le prouver, laites l’angle DAB égal à B; le triangle DAB ayant les angles en B et A égaux, sera isocèle (p. 6 , c.), et le côté AD sera égal à DB. Mais la droite CA est plus petite que CD-+- DAj remplaçant DA par son égal DB, on a CA<^CD- 1 -DB, ou <\CB.

2° Si le côté CB est supposé plus grand que CA , je dis que l’angle CAB sera plus grand que l’angle B. Car si cela n’était pas, l’angle CAB serait ou égal à B, ou plus petit que B; mais si l’angle CAB était égal à B, le côté CB serait ■ égal à CA (p. 6 , c.); et si l’angle CAB était plus petit que B, le eôté CB serait, d’après ce qu’on vient de prouver,

. plus petit que CA. Ces deux conséquences étant absurdes, il en résulte que l’angle CAB^B.

. 11 - DÉFiMiriofi XI. Dans un triangle ABC, l’angle BCD

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