LIVRE IV

égales, B équivaut à la summe de 7 do ces parties; et

réciproquement, si A vaut les - de B, on écrira k— - B,

ou g = - , ou A : B :: 3 : 7. {Comparez 1. 3, p. 3 et d. 6.)

Pour appuyer cette déflnilion , remarquez qu’on peut toujours coucevoir un parallégramme qui , ayant un angle donné , soit équivalent à une figure donnée. Car si l'on prend un parallélogramiiic dont l’angle et l’un des côtés sont quelconques et qu’on fasse varier te second côté d’une manière continue, le parallélograinnic variera d|nne manière continue depuis zéro jusqu’à l'infini. Il passera donc par tous les états de grandeur qu’une surface plane peut prendre; par conséquent, il prendra successivement des valeurs équivalentes à tontes les figures planes imaginables. Ainsi deuz figures étant données, on peut les supposer remplacées par deux parallélogrammes respectivement équivalents, ayant un angle cuiuuiun. Or, il a été montré d’une manière nette comment on peut moiliplicr un parallélogramme par un nombre abstrait; on concevra donc aussi ce qu’on entend par le rapport de deux surfares planes quelconques.

Définition ni. La mesure d’une grandeur est le rapport de cette grandeur à une autre prise pour unité. La mesure d’une surface se nomme aire. L’objet principal de ce livre est de ramener la détermination du rapport des surfaces planes à des rapports de lignes, rapports dont les propriétés sont connues par le livre 3. Nous supposerons dorénavant les lignes rapportées à une unité, c’est-à-dire mesurées.

Définition if. La hauteur d’un triangle ABC est la Fig. iio, perpendiculaire AD , menée du sommet A d’un des angles sur le côté opposé BG, prolongé s’il le faut. Ce point A s’appelle le sommet du triangle , et le côté BC , sur lequel tombe la perpendiculaire, sc nomme la base. On peut prendre pour base tel côté qu’on veut; le sommet sera celui de l’angle opposé à ce côté.

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GÉOM^RIE.

Dans un triangle isoscèle , on prend ordinairement pour base le côté qui n’est pas égal aux autres.

Fig. 113. DÉF/ifiTion y. La hauteur d’un parallélogramme est la perpendiculaire AE, menée entre deux côtés opposés pris pour bases.

Fig. 114. Dêfjhitio!<i ri. Un trapèze est un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés AB, CD sont parallèles. Ces deux côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze; la hauteur du trapèze est la perpendiculaire EF menée entre les bases.

THÉORÈME

Fig. 109. Les surfaces de deux parallélogrammes ABCD, EFGH , qui ont les angles égaux chacun à chacun , sont entre elles comme les produits des côtés adjacents, de sorte qu’on a

ABCD : EFGH ; : AB X AD : EFxEH.

. Supposons que les côtés .AB, EF soient entre eux :: 7 ; 5 et que AD : EH :: 4 ; 3. Divisez AB en 7 parties égales, EF en contiendra 5; par les points de division menez des droites respectivement parallèles aux côtés AD , EH; ces droites décomposeront la première figure en 7 parties égales, et la seconde en 5 parties égales entre elles, mais non égales à celles de la première. Divisez de même AD en . 4 parties égales, EH en contiendra 3. Si, par les points de division , de AD on mène des parallèles au côté AB, chacune des 7 parties de ABCD se trouvera divisée en 4 parallélogrammes égaux, de sorte que ABCD se trouvera décomposé en 7x4 parties égales. Opérant de même sur EFGH, on décomposera cette figure en 5x3 parties égales , à celles de ABCD ; donc (d. 2)

(I) ABCD ; EFGH :: 7x4 ; 3x5.

LivnE IV.

Mais on a

AB:EF:;7:5 AD: EH:: 4: 3; miilliplianl par ordre

ABxAD : EFxEH :: 7.4 : 5.3,.

celle proportion a un rapport commun avec (I); donc .\BCD : EFGH :: ABxAD : EFxEH.

> Supposons maintenant que AB. EF, étant coromensurablcs entre eux , Al), EH ne le soient pas; comme le parallélogramme EFGH varie d’une manière continue avec EH , on conclura (I, 3, p. 4) que la proportion a encore lieu dans ce cas. EiiGn, les côtés AD , EH étant commensurables ou non , si AB, EF no le sont pas on prouvera de la meme manière que la proportion n’en a pas moins lieu.

Corollaire 1. Supposons qu’il s’agisse de deux rectangles, que nous nommerons R, r; soient B, b leurs bases, H, h leurs hauteurs, qui, dans ce cas, sont les côtés adjacents aux bases. Puisque dans les rectangles les angles sont égaux comme droits , on aura R : r :: BxH : ôx/i, proportion qui peut se mettre sous la forme

R B^ B H r bxfi b ^ h

Supposons maintenant que r soit un carré, de sorte que h = b, la proportion devient

- = I ^ Tr b b

.Si l’on prend r pour unité de surface, — est la mesure

de la surface du rectangle R (d.3); si, de |>lus, on prend

* Voir iim* noU’ à la flii di* i'oinrag*’.

I Si

GÉOUÉTRII-.

b pour unité de longueur, - , — sont les mesures des

côtés B, H du rectangle; par conséquent, en prenant pour unité de surface un carré, et pour unité de longueur le côté de ce carré , la mesure de la surface d’un rectangle ou l’aire d’un rectangle est égale au produit de la base

par la hauteur. Représentant les trois rapports ~ f

par R', B', H', on peut écrire :

R' = B'xH'.

Ainsi, pour mesurer la surface d’un rectangle en mètres carrés, mesurez les côtés en mètres, et multipliez ces mesures l’une par l’autre, le produit sera l’aire du rectangle.

Dans tout le reste de cet ouvrage, l’exprcssirn produit de lignes doit être entendue comme on vient de l’expliquer.

Kig. 100. Corollaire 2. Tirez les diagonales DB, HF; chacun des deux parallélogrammes se trouvera décomposé en deux triangles égaux. Ces deux triangles ADB , HEK, qui onl un angle égal ( A = E), sont donc entre eux comme les parallélogrammes , ou : ; AD X AB : EH X EF, c'est-à-dire comme les produits des côtés qui comprennent l'angle égal.

Corollaire 3. On demande l’aire du rectangle qui a pour base 3“,126 et pour hauteur 1”’,I4.

Cette aire = 3,126x1,14 = 3,66364; comme on a pris, pour unité de longueur , le mètre , l’unité de surface est

le mètre carré que nous désignons par “ . La partie décimale peut s’énoncer en décimètres carrés, centimètres carrés, etc. Pour faire voir comment on l’énonce, remarquons que pour mesurer un mètre carré en décimètres carrés, il faut mesurer la base et la hauteur en décimètres (p. 1 , c. I), et multiplier entre elles les deux mesures; or, la base et la hauteur seront chacune égale à 10, et leur produit sera 100. Donc le mètre carré contient 100 déci-