LIVRE IV

nièlres carrés. De même, le décimètre carré contient 100 centimètres carrés, le centimètre earré contient 100 millimètres carrés, et ainsi de suite. Par conséquent t™’=100 décimètres carrés =10000 centimètres carrés = 1000000 millimètres carrés. Donc le décimètre carré est

du mètre carré, le centimètre carré est du

mètre carré , etc. Le nombre 3™’, 56364 contient donc 3 mètres carrés, 66 centimètres carrés,

36 centimètres carrés, 40 millimètres carrés.

THÉORÈME

L'aire d’un parallélogramme est égale au produit de sa hase par sa hauteur.

Pour le démontrer, je dis d’abord que deux parallélogrammes de même base et de même hauteur sont équivalen Is.

En effet, soient deux parallélogrammes ABCD, ÂBC'D',Fig. li-i. dont l’un peut être, si l’on veut, un rectangle; donnonsleur une base commune ÂB ; puisque la hauteur est la même, les bases CD, C'D' seront sur une même parallèle à AB. Puisque ABCD est un parallélogramme, le côté AC est égal et parallèle à BD; de même AD' est égal et parallèle à BC; donc les angles C'BD , D'AC sont égaux, à cause des côtés parallèles (I. 1 , p. 17); par suite, les triangles D'AC , C'BD sont égaux , comme ayant un angle égal entre côtés égaux. Donc surf. ABDD' — D'AC = ABDD' — C'BD, ou

Surf. ABDC = surf. ABC'D'.

Cela posé, si ABC'D' est un rectangle , son aire est égale à ABxC'B; donc l’aire du parallélogramme ABDC est aussi égale à ABxC'B.

r.ÉOMÉTRIE.

Corollaire. Deux parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs, et deux parallélogrammes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases. En effet, soient P,p les aires de deux parallélogrammes, B, b les bases. H, /t les hauteurs. D’après ce qu’on vient de prouver , on a P=Bxn,p = 4x/i,etpar conséquen t

P:p :: BxH : 4x/i.

Or, si l’on suppose les bases égales, B devient égal à b, et la proportion se réduit à P:p :: H : A.

Si , au contraire, on suppose les hauteurs égales on aura P":p :: B : A.

THÉORÈHK.

Fig. 113. L’aire d’un triangle ABC est égale à la moitié du produit de la base par la hauteur.

D’un sommet A menez une droite AD égale et parallèle au côté opposé BC; joignez CD. La figure ABCD sera un parallélogramme (I. 1 , p. 22), que la diagonale AC divise en deux triangles égaux. Ainsi le triangle ABC est la moitié de ce parallélogramme; or, si AE est la perpendiculaire menéedu point A surBC, l’aire du^parallélogamme a pour mesure (p. 2) BCxAE ; donc le triangle a pour mesure

ifiCxAE.

Corollaire 1 . Deux triangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs, et deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, puisque chaque triangle est la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur.

Corollaire 2. Tout polygone pouvant se décomposer en triangles, on saura calculer la surface d’un polygone quelconque.