AD:GD:: AB:GI

et comme GD est la moitié de AD , Gl sera la moitié de AB; par une raison analogue IH est la moitié de DC. Donc Gl-I-IH ou GH est la moitié de la somme des bases AB-f- CD, et le trapèze aura pour mesure GHxEF.

r.üOMETRIE.

nit)

THÉORÈME

Fi(f 115. L’aire d’un polygone régulier est égale à son contour multiplié par la moitié de l’apothème.

Soit A.BCD, etc., un polygone régulier, O son ‘centre, OG son apothème. Tirons les rayons AO, BO, etc., qui décomposeront le polygone en triangles égaux entre eux.

Le triangle AOB a pour mesure ^ GOxAB, et comme le

polygone se compose de six triangles égaux à AOB , il aura pour mesure - GOx6AB ou la moitié de l’apothème multipliée par le contour 6AB. On raisonnera de même dans tout autre cas.

THÉORÈME

L’aire du cercle est égale à la circonférence multipliée par la moitié du rayon.

Fig. 113. Circonscrivez aq cercle des polygones réguliers de 6, 12, 24, 48, etc., côtés; chacun de ces polygones aura pour mesure son contour multiplié par la moitié de l’apothème GO; mais on finira par trouver des polygones qui diffèrent infiniment peu du cercle quant à leur contour et à leur surface. Considérant donc le cercle comme un polygone régulier d’une infinité de côtés, on conclura que l’aire du cercle est égale à sa circonférence multipliée par la moitié du rayon.

Pour donner à cette conclusion tonte la rignenr possible , inscrivons au cercle un polygone semblable à ABCD...., supposons que les côtés de ces polygones soient inOniment petits et rospectivement parallèles. La dilTérence entre les aires de ces polygones

LIYBE IV.

se compose d'une série de trapèzes tels qae AB6a; l’aire de cliacun de ces trapèzes est moindre que AB X Qf . et leur somme sera moindre que ( AB+BC -H. . .) X Gp; or, le contonr AB + BC-l-... est nne variable finie et décroissante , Gg est infiniment petit ( I. - 3 , p. 33 } ; donc cette diiTérence est infiniment petite. Par conséqueni, l'aire du cercle difTèrc infiniment pen de chacun des polygones.

Uais l’aire du polygone circonscrit = périm. ABCDEFA X t GU;

donc, négligeant les infiniment petits,' on anra

Aire du cercle = circonférence X ~ GO < I. 3, p. 1, r.).

Corollaire 1 . Le secteur de cercle ABC , c’est-à-dire la Fig. 59. surface comprise entre un arc BC et les rayons AB , AC , menés à ses exlrémilés, a pour mesure son arc BC multiplié par la moitié du rayon. Pour le prouver, on démontrera, par un raisonnement semblable à celui de la proposition 5, liv. 3, que deux secteurs de même rayon sont entre eux comme leurs arcs, de sorte que le secteur est au cercle entier, comme l’arc de ce secteur est à la circonférence. On aura donc

Secteur ABC : cercle AB :: arc BC ; cire. AB.

Multipliant les deux derniers termes par ^ AB , on a

Sect. ABC : cercle AB ; : arc BC X ^ AB : cir. AB X ^ AB.

Or, on vient de prouver que le cercle AB est égal à

cir. AB X 2 AB ; donc sect. ABC = arc BC X ^ AB.

Corollaire 2. Soit R le rayon d’un cercle, la circonférence sera (I. 3, p. 34, c.) 27 tR, et l’aire du cercle

2 71 R X 2 R. = 2. 2 TT. R. R. = TT. R’. Donc l’aire du cercle

est aussi égale à n multiplié par le. carré du rayon.

Soit a l’angle d’un secteur , cet angle étant donné en Fig. 59.

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degrés, minutes, etc.; l’arc de ce secteur sera â la circonférence comme l’angle a est à 1 angles droits ou à 360" (I. 3 , p. 5 , r. 1 et 2). Ainsi arc BC : cir. AB : : a : 360"

d’où

arc BC =

«Xc/r. AB nx2jrR

on a secteur =

; multipliant par

uttR’

Corollaire 3. Voici quelques applications numériques de ce qui précède.

1» Calculer l’aire d’un secteur de cercle dont l’angle est de 48"-t-64', le rayon du cercle étant de l"*'' ",6. On a

ici a — 48»-j-64' et R = 1,6. On réduit les degrés en

minutes, et I on a « = =48,9; prenant

71=3,14169, nous aurons

S6Ct» — , ' I I

On peut simplifier en divisant 48,9 par 3, puis 2,66 par 4 et 360 par 12; ainsi

Opérations faites, on a 1» : 16,3 X 0,64 = 10,432 ; 2»: 10,432x 3,14159=32,77306688, divisant par 10 , puis par 3 , on a pour résultat 1,092435662 , nombre que, pour abréger, je nommerai k; reste à savoir quels sont les 5o/ij cbilfres. Or, le produit 10,432 est exact; mais 3,14169 est approché en moins à 0,00001 près; le produit de ces deux nombres est donc trop petit, et l’erreur est moindre que 10,432 x 0,00001 , de sorte que le quotient par 30 , pris exactement , serait en erreur de moins

que ^ X 10,43x0,00001, ou que j X 0,00001043, qui