LIVRE IV

est 0,000003477... En prenant ci-dessus le quotient k ,

on a négligé - de l’unité décimale du 9" ordre; par con-

séquent , l’erreur sur le résultat k est moindre que 0,000003478. Ainsi, en ajoutant ce nombre à ^ , on a un résultat trop grand, qui est 1,092439040. On peut donc affirmer que le secteur est plus grand que 1,09243, et plus petit que 1,09244, et, à moins de 0,00001 près, le secteur est 1 ”*,09243, en moins ; ce qui fait 1 mètre carré, 9 décimètres carrés, 24 centimètres carrés, 30 millimètres cariés.

2° On veut avoir à moins if un millimètre carré la lurfaee d'un cercle dont le rayon est de avec combien de décimales faut il faire entrer n dans ce calcul ‘t

Heprésentons par fc et k-t-ct deux nombres qui comprennent entre eux 1a valeur rigoureuse de n. L’aire du cercle sera comprise entre (4-t-* ) (1, 2)’ et* (t, 2)’. Pour qu'elle diffère de chacune de ces expressions de moins qu’un millimètre carré , il sufflt que la différence de ces deux mêmes expressions soit moindre qu’un millimètre carre; or, cette différence est

« X (t, 2)* qu’on posera < 0,000001 ,

d’oA

ou

Ainsi , il suffit que la valeur de n soit approchée à moins de

1440000 0,0000001 , et l’on aura la surface avec l’ap-

proximation demandée. Elle est 4,523803344. Cette valeur contient 0 décimales, et n’est exacte qu’à moins d’une unité du 6‘ ordre; cependant si noos supprimions les trois dernières , nous no pourrions plus affirmer que l’erreur est encore moindre que l’unité du 6' ordre. Pour savoir si cela est , on peut tenter un premier essai qui consiste à calcule r une limite de l’erreur, limite aussi approchée qu’on pourra. Or, on a pris n avec 7 décimales et en moins ; la partie négligée dans n est plus petite que 0,00000006 ; l’erreur sur

l’aire est donc moindre que

Ainsi , l'erreur est moindre que 864 unités du 10° ordre , de sorte que si l’on supprime les chiffres 344, la limite de l’erreur sera de 344 unités du 9° ordre + 864 du dixième , ou 3440 + 864 = 4304 du dixiéme , ce qui est moins que l’unité du sixième. Donc au 6' ordre près, et en moins, la surface du cercle est 4"*’,523893, quantité par conséquent trop petite , mais qui deviendrait trop grande si on l’augmentait d’une unité du 6° ordre décimal.

L’essai ci-dessus ne résont pas toujours la question. Lorsqu’il la laisse indécise , il fant pousser l’approximation plus loin. On en verra un exemple pins bas.

3° Calculer à un centimètre près le rayon d'un cercle dont la surface S5t de 12”’.

Soit r ce rayon; ona7rr’=12'" d’oùr’= —

Pour que r soit exact à 0,01 prés, il suiUt que r* le soit à 0,0001.

En effet soit d la différence de deux nombres a et a‘, de façon que a' = a + d

d’où a'’ = o’-i-2a(l-i-d*

et O'’ — a’=2ad-i-d’

La différence des carrés est donc plus grande que d’. Or, si la différence de deux carrés est h , celle des racines est moindre que . et pour que l’on obtienne un nombre qui diffère de r, de 0,01 , il suffit de trouver nn nombre dont la différence avec p’ soit moindre que (0,01)’ = 0,0001.

Mais cela n’est pas nécessaire. Car on vient de voir que

o' ’ — O* = 2od-t- d’

Ainsi pour qu’un nombre a‘ soit connu à moins de d prés, il suffit que son carré le soit, à moins de 2ad+d . Comme n<4, on a r’>3 et r> 1,5. Donc il suffit que r’ soit connu à moins de 2X1,5x0,01-1- 0,0001 = 0,00301 Nous allons chercher r° à moins de 0,003. Soient k, k -h a deux

nombres qui comprennent tt ; r° quantités dont la différence est

sera compris entre — et

r^) < IF- < "ô" ’ “ï"

UVRK IV.

peut supposer k>3. U solül donc que ou ^ soit <0,03,

d’où

ou <0,0225.

Par suite on peut prendre r=3,15, ce qui conduit à calculer i?L. Comme ce quotient ne peut se calculer en décimales que d’une minière approchée, on le prendra en moins, et»i Von pousse jusqu’au 4» ordre, l’erreur de la division sera < — ^ ; d’un antre côté

est affectée d’une erreur , moindre que 0.03 ; donc l’er-

l’euT sur le quotient, c’est-i-dire sur r*, fera <0.0301, ce qui est sufflsanl.

On trouve

Ponc Par suite

iL = ^ = 3,8095-H....

r’ >3,8095 et r’< 3,8396.

r>l,95 et r<l,96.

Car les racines de 3,8095 et 3,8396 tombent l’une et l’autre entre 1,95 et 1,96. Chacun de ces derniers nombres exprime donc la valeur de r à moins de 0,01.

THéORKSIii.

Les aires des figures semblables sont entre elles comme pig. ne. les carrés des dimensions homologues.

r Soient deux triangles semblables ABC, ADE, auxquels on a supposé un angle homologue commun en A , si l’on suppose de plus que l’angle égal à B soit l’angle " ADE, le côté DE sera parallèle à BC. Menons AF perpendiculaire à BC et par suite à DE. A cause des parallèles on a